# ጥግ
በካልኩለስ ጥናት የአንድ አስረካቢ ወይንም ድርድር ግቤት የተወሰነ ዋጋ እየቀረበ ሲሄድ የዚያ አስረካቢ ወይንም ድርድር ውጤት እየተጠጋ የሚሄደው ዋጋ ጥግ ይባላል። ጥግ መሰረታዊ ጽንሰ ሐሳብ እንደመሆኑ ሪጋነት፣ ውድድር እና አጠራቃሚ የተሰኙት የካልኩለስ ዋና ዋና ሃሳቦች የሚተረጎሙት በጥግ ነው፡፡

## የአስረካቢ ጥግ
|                                                                 |  |                                                 |
| ግቤት x ከ ነጥብ c በ δ ርቅት ላይ ካለ, የf(x) ዋጋ ከጥጉ L በ ε ርቀት ውስጥ ይገኛል። . |  | ለማናቸውም x > S, አስረካቢ f(x) ከጥግ L በ ε ርቀት ውስጥ ይገኛል |

አስረካቢ f(x) እና ነጥብ c ቢሰጡ፣ አስረካቢው በተሰጠው ነጥብ ላይ ሊኖረው የሚችለው ጥግ እንዲህ ይጻፋል
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
ትርጉሙም xን ወደ ነጥብ c በማስጠጋት የ አስረካቢ f(x) ዋጋን በተፈለገ መጠን ወደ L ማስጠጋት ይቻላል። እንግዲህ " የx ዋጋው ወደ c ሲጠጋ, የf ጥግ L" ነው ይባላል። በጥንቃቄ መታየተ ያለበት፣ በአንድ ነጥብ ላይ አንድ አስረካቢ ያለው ጥግ እና ውጤት አንድ ላይሆኑ ይችላሉ፣ ማለት f(c) ≠ L። እንዲያውም አስረካቢ f(x) በነጥብ c ላይ ትርጉም ላይኖረውም ይችላል። ጥግ፣ አስረካቢው የሚቀርበውን ዋጋ እንጂ የአስረካቢውን ዋጋ አያሰላም። 

### ምሳሌ
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
እዚህ ላይ f(1) በዜሮ ማካልፈል ስለሚሆን አስረካቢው 1ን ማስረከብ አይችልም። በሌላ አነጋገር አስረካቢው 1 ላይ ትርጉም የለውም። ሆኖም ግን x ወደ 1 እየተጠጋ ሲሄድ, f(x) ወደ 2 እየተጠጋ ይሄዳል። 
ከላይ የተሰጠውን በስራ ለማሳየት መጀመሪያ x^2-1 መተንተን ያስፈልጋል. [(x-1)(x+1)]/(x-1). ከዛ መጣፋት የሚችሉትን ካጣፋን በሓላ x+1 ይቀራል. በመጨረሻም 1ን በx ቦታ መተካት. ስለዚህ መልሳችን 2 ነው ማለት ነው.
f(x)=(2x-1)/x, x-->∞ ከላዪም ከታችም ∞ን ስለሚተጋ -1 ለውጥ አያመታም. ስለዚህ xን በx አጣፍተን መልሳችን 2 ይሆናል ማለት ነው. 
| f(0.9) | f(0.99) | f(0.999) | f(1.0)       | f(1.001) | f(1.01) | f(1.1) |
| 1.900  | 1.990   | 1.999    | ⇒ ትርጉም የለሽ ⇐ | 2.001    | 2.010   | 2.100  |

ከሰንጠረዡ መረዳት እንደሚቻለው xን ወደ 1 በማስጠጋት አስረካቢ f(x)ን ወደ 2 በፈለግነው መጠን ማስጠጋት ይቻላል። ስለሆነም አስረካቢው በ1 ላይ ያለው ጥግ 2 ነው ይባላል።

### የጥግ ባህሪዎች
- እኩልዮሽ
{\displaystyle \left(\lim _{x\to c}f\left(x\right)=L_{1}\right)\land \left(\lim _{x\to c}f\left(x\right)=L_{2}\right)\Rightarrow (L_{1}=L_{2})}

- ቆንጣጭ እርግጥ

- መደመር
{\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)+g(x){\bigr ]}=L+B\right);}

- መቀነስ
{\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)-g(x){\bigr ]}=L-B\right);}

- ማባዛት
{\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)\cdot g(x){\bigr ]}=L\cdot B\right);}

- ማካፈል
{\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\neq 0\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {L}{B}}\right).}


ጥግ
በ[[ካልኩለስ]] ጥናት የአንድ [[አስረካቢ]] ወይንም [[ድርድር]] [[ግቤት]] የተወሰነ ዋጋ ''እየቀረበ'' ሲሄድ የዚያ አስረካቢ ወይንም ድርድር [[ውጤት]] እየተጠጋ የሚሄደው ዋጋ '''ጥግ''' ይባላል። ጥግ መሰረታዊ ጽንሰ ሐሳብ እንደመሆኑ [[ሪጋ አስረካቢ|ሪጋነት]]፣ [[ውድድር]] እና [[አጠራቃሚ]] የተሰኙት የካልኩለስ ዋና ዋና ሃሳቦች የሚተረጎሙት በጥግ ነው፡፡

== የአስረካቢ ጥግ ==
{{Double image|right|Límite 01.svg|{{#expr: (200 * (800 / 800)) round 0}}|Limit-at-infinity-graph.png|{{#expr: (200 * (619 / 405)) round 0}}|  ግቤት {{math|x}}  ከ ነጥብ {{math|c}} በ δ ርቅት ላይ ካለ, የ{{math|f(x)}} ዋጋ  ከጥጉ {{math|L}} በ ε  ርቀት ውስጥ ይገኛል።  .| ለማናቸውም {{math|x > S}},  አስረካቢ {{math|f(x)}}  ከጥግ {{math|L}} በ ε ርቀት ውስጥ ይገኛል }}

አስረካቢ {{math|f(x)}} እና ነጥብ {{math|c}} ቢሰጡ፣ አስረካቢው በተሰጠው ነጥብ ላይ ሊኖረው የሚችለው ጥግ እንዲህ ይጻፋል

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

ትርጉሙም {{math|x}}ን ወደ ነጥብ {{math|c}} በማስጠጋት የ አስረካቢ {{math|f(x)}} ዋጋን '''በተፈለገ መጠን''' ወደ {{math|L}} ማስጠጋት ይቻላል። እንግዲህ " የ{{math|x}} ዋጋው ወደ {{math|c}} ሲጠጋ, የ{{math|f}} ጥግ {{math|L}}" ነው ይባላል። በጥንቃቄ መታየተ ያለበት፣ በአንድ ነጥብ ላይ አንድ አስረካቢ ያለው ጥግ እና ውጤት አንድ ላይሆኑ ይችላሉ፣ ማለት {{math|f(c) ≠ L}}። እንዲያውም አስረካቢ {{math|f(x)}} በነጥብ {{math|c}} ላይ ትርጉም ላይኖረውም ይችላል። ጥግ፣ አስረካቢው የሚቀርበውን ዋጋ እንጂ የአስረካቢውን ዋጋ አያሰላም። 

=== ምሳሌ ===

:<math> f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} </math>

እዚህ ላይ ''f''(1) በ[[ዜሮ]] ማካልፈል ስለሚሆን አስረካቢው 1ን ማስረከብ አይችልም። በሌላ አነጋገር አስረካቢው 1 ላይ ትርጉም የለውም። ሆኖም ግን {{math|x}} ወደ 1 እየተጠጋ ሲሄድ, {{math|f(x)}} ወደ 2 እየተጠጋ ይሄዳል። 
ከላይ የተሰጠውን በስራ ለማሳየት መጀመሪያ x^2-1 መተንተን ያስፈልጋል. [(x-1)(x+1)]/(x-1). ከዛ መጣፋት የሚችሉትን ካጣፋን በሓላ x+1 ይቀራል. በመጨረሻም 1ን በx ቦታ መተካት. ስለዚህ መልሳችን 2 ነው ማለት ነው.
f(x)=(2x-1)/x, x-->∞ ከላዪም ከታችም ∞ን ስለሚተጋ -1 ለውጥ አያመታም. ስለዚህ xን በx አጣፍተን መልሳችን 2 ይሆናል ማለት ነው. 
{| class="wikitable"
|''f''(0.9)||''f''(0.99)||''f''(0.999)|| ''f''(1.0) ||''f''(1.001)||''f''(1.01)||''f''(1.1)
|-
|    1.900 ||     1.990 ||      1.999 ||  ⇒ ትርጉም የለሽ ⇐ ||      2.001 ||     2.010 ||    2.100
|}

ከሰንጠረዡ መረዳት እንደሚቻለው {{math|x}}ን ወደ 1 በማስጠጋት አስረካቢ {{math|f(x)}}ን ወደ 2 በፈለግነው መጠን ማስጠጋት ይቻላል። ስለሆነም አስረካቢው በ1 ላይ ያለው ጥግ 2 ነው ይባላል።

=== ሂሳባዊ የቀኖና ትርጉም ===

{{ቀመር|አስረካቢው f(x)  በc  ላይ ጥግ አለው ሲባል በሂሳብ ቋንቋ እንዲህ ይጻፋል፡
:<math>\lim_{x \to c} f \left( x \right) = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - c \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L \right| < \varepsilon</math> | የጥግ ቀኖናዊ ትርጉም
}}

=== የጥግ ባህሪዎች ===

* እኩልዮሽ
*: <math>\left( \lim_{x \to c} f \left( x \right) = L_1 \right) \land \left( \lim_{x \to c} f \left( x \right) = L_2 \right) \Rightarrow (L_1 = L_2)</math>

* [[ቆንጣጭ እርግጥ]]

* መደመር
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = L+B \right);</math>

* መቀነስ
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = L-B \right);</math>

* ማባዛት
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = L\cdot B \right);</math>

* ማካፈል
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{L}{B}\right).</math>

[[መደብ:ጥግ|ጥግ]]
[[መደብ:ካልኩለስ]]