# ትሪጎኖሜትሪ
ትሪጎኖሜትሪ የሚለው ቃል ከግሪክ የመጣ ( ትሪጎኖን = ሦሥት ጎን፣ ሜትሪ = መለካት) የሶስት ጎኖችን ማዕዘናትና አቃፊ ጎኖቻቸውን ተዛምዶ የሚያጠና የሒሳብ ክፍል ነው። እኒህ ተዛምዶዎች ብዙ ጊዜ የሚገለጡት በትሪጎኖሜትሪክ ፈንክሽን ሲሆን ጥናቱ በአጠቃላይ ለተደጋጋሚ ክስተቶች ጥናት፣ በተለይ ለሞገዶች ከፍተኛ ጥቅም አለው። ስለሆነም የትሪጎኖሜትሪ ጥናት ሰፊ ለውጥ ያሳየው ከክርስቶስ ልደት በፊት በ3ኛው ክፍለ ዘመን ሰዎች ጂዎሜትሪን ለሥነ ከዋክብት ጥናት መጠቀም በጀመሩበት ጊዜ ነበር. ። I
በአሁኑ ወቅት፣ ትሪጎኖሜትሪ ለሒሳብ፣ ሳይንስ፣ ቴክኖሎጂ፣ ሥነ ከዋክብት ጥናትና ለመሬት ጥናት የሚያግለግል ዋና የሒሳብ መሳሪያ ነው።

## በአጠቃላይ መልኩ
የአንድ ሶስት ጎን አንድ ማዕዘን  90 ዲግሪ ቢሆንና አንዱ ሌላው ማዕዘን ከታወቀ፣ ቀሪው ሶሰኛ ማዕዘን ምንጊዜም ይታወቃል።  ለዚህ ምክንያቱ ማናቸውም ሶስት ጎኖች የውስጥ ማዕዘኖቻቸው ሲደመሩ ሁልጊዜ 180 ስለሚሞሉ ነው፡፡ ማዕዘኖቻቸው ታወቁ ማለት ደግሞ ምንጊዜም የጎኖቻቸው ውድር ቋሚ ነው ማለት ነው።  
ስለሆነም የአንድ ቀጥተኛ ሶስት ጎን አንድ ማዕዘን A, እና ጎኖች  a,  b, c ቢሰጡ፣ የጎኖቹ ውድሮች እንዲህ ሲባሉ በትርጎኖሜትሪ ፈንክሽኖች ይተረጎማሉ:
- ሳይን(Sine) ከማዕዘኑ ትይዩ ያለው  ጎን ለተጋዳሚው(hypotenuse) ጎን ሲካፈል

{\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.}
- ኮሳይን(Cosine)  ፈንክሽን (cos),  ለማዕዘኑ ታካኪ የሆነው ጎን ለተጋዳሚው ጎን ሲካፈል

{\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.}
- ታንጀንት(Tangent)  ለማዕዘኑ ትይዩ የሆነው ጎን ለታካኪው ሲካፈል

{\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}
የኒህ ፈንክሽኖች ብዜታዊ  ግልባጮች፣ ተራ በተራ ፣ ኮሴካንት ('cosecant) (csc ወይንም cosec),  ሴካን (secant) (sec), እና  ኮታንጀንት (cotangent) (cot), በመባል ያወቃሉ። 
ከላይ የተጠቀሱት ፈንክሽኖች፣ ከተሰጠ ማዕዘን ተነስተው ውድር የሚያገኙ ሲሆን፣ ከተሰጠ ውድር ተነስተው ማዕዘኑን ማስገኘት የሚያስችሉ ዘዋሪ ፈንክሽኖችም አሉ።   እኒህም   አርክሳይን(arcsine),  አርክኮሳይን(arccosine),  እና   አርክታንጀንት(arctangent) በመባል ይታወቃሉ። ,
እላይ የተጠቀሱትን ፈንክሽኖች በመጠቀም ማናቸውም በሶስት ጎን ላይ የሚነሱ የማዕዘን ጥያቄወችን መመለስ ይቻላል።  ሁለት ጎናቸው የሚያቅፉት ማዕዘን፣ ወይም፣ ሁለት ማዕዘኖቻቸው እና አንድ ጎናቸው፣ ወይንም ሶስቱ ጎናቸው የሚታወቅ ሶስት ጎኖች፣ ሌሎች ቀሪ ያልታወቁ ጎኖቻቸውና ማዕዘኖቻቸው በትርጊጎኖሜትሪ እንዲታወቅ ያችላል። 
ለምሳሌ አንድ ፎቅ የሚያጠላው ጥላ ርዝመትና የጥላው ማዕዘን ቢታወቅ፣ የፎቁ ርዝመት በትሪጎኖሜትሪ ተሰልቶ ሊገኝ ይችላል።
የትሪጎኖሜትሪ ህጎች በማናቸውም የጂዎሜትሪ ክፍሎች ተጠቃሚነት ያገኛሉ። ለዚህ ምክንያቱ ማናቸውም የጂዎሜትሪ ምስሎች ከተወሰኑ ሶስት ጎኖች ቅንጅት የሚመጡ ናቸውና።

## የትሪጎኖሜትሪ ህግጋት

### መሰረታዊ እኩያዎች
እኒህ እኩልዮሾች ለማናቸውም ማዕዘናት ያገለግላሉ
{\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }
{\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\ }
{\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\ }

### ምዕዘናት ማሻገሪያ ቀመሮች
{\displaystyle \sin(A+B)=\sin A\cdot \cos B+\cos A\cdot \sin B}
{\displaystyle \cos(A+B)=\cos A\cdot \cos B-\sin A\cdot \sin B}
{\displaystyle \sin(A-B)=\sin A\cdot \cos B-\cos A\cdot \sin B}
{\displaystyle \cos(A-B)=\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B}

## ተጨማሪ ቀመሮች
በሚከተሉት እኩልዮሾች  A, B እና  C  የሶስት ጎን ማዕዘና ሲሆኑ  a, b እና c ደግሞ ከማዕዘናቱ ፊት ለፊት የሚገኙ ጎኖች ናቸው

### የሳይኖች ህግ
የሳይኖች ህግ እንዲህ ይጻአል
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}
R እዚህ ላይ በሶስት ጎኖቹ ሶስት ነጥቦች ላይ የሚሳልን ክብ ራዲየስ ይወክላል ፡
{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}
የሶስት ጎኑ ስፋት ደግሞ እንዲህ ይሰአላል:
{\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin C.}

### የኮሳይኖች ህግ
የኮሳይኖች ህግ፣ የፓይታጎሪያን እርግጥ  ከቀጥተኛ ሶስት ጎን ወደ ለማንኛውም ሶስት ጎን ጥቅም ሲሻገር የሚይዘው ቅርጽ ነው፦
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}
ወይም ደግሞ፦
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,}

### የታንጀንቶች ህግ
የታንጀንቶች ህግ እንዲህ ይላል:
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}

### የኦይለር ቀመር
የኦይለር ቀመር, በሓሳቢው ኦይለር የተደረሰበት ቀመር ሲሆን፣ እንዲህ ይላል  {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}፣ ሲተነተን የሚከተሉትን ቀመሮችና ትርጓሜዎች ይሰጣል፦
{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}

## የውጭ ማያያሻዎች(እንግሊዝኛ)
- የትሪጎኖሜትሪ ደስታ (የእንግሊዝኛ ነጻ መጽሐፍ) 1990 ዓ.ም ፕሪንስተን ዩኒቬርሲቲ
- ትሪጎኖሜትሪ (የእንግሊዝኛ መጽሐፍ) 1906ዓ.ም. Archived ኖቬምበር 4, 2007 at the Wayback Machine
- የትሪጎኖሜትሪ እንቆቅልሾች
- አጭር የትሪጎኖሜትሪ ትምህርት Archived ጁን 15, 2008 at the Wayback Machine ክላርክ ዩኒቨርሲቲ


ትሪጎኖሜትሪ
[[ስዕል:STS-114 Steve Robinson on Canadarm2.jpg|thumb| በ[[ዓለም አቀፍ የጠፈር መናህሪያ]] ተተክሎ ያለው የሮቦት እጅ እንቅስቃሴው የሚመራው በመገጣጠሚያው ላይ ባሉ ማዕዘናት አማካይነት ነው። ብሮቦቱ እጅ ላይ ያለው ጠፈርተኛ እንቅስቃሴ የሚሰላው የትሪጎኖሜትሪ ስሌቶቾን በማዕዘናቱ ላይ በተደጋጋሚ በመፈጸም ነው]] 

'''ትሪጎኖሜትሪ''' የሚለው ቃል ከግሪክ የመጣ ( ትሪጎኖን = ሦሥት ጎን፣ ሜትሪ = መለካት) የ[[ሶስት ጎን|ሶስት ጎኖችን]] ማዕዘናትና አቃፊ ጎኖቻቸውን ተዛምዶ የሚያጠና የሒሳብ ክፍል ነው። እኒህ ተዛምዶዎች ብዙ ጊዜ የሚገለጡት በ[[ትሪጎኖሜትሪክ ፈንክሽን]] ሲሆን ጥናቱ በአጠቃላይ ለተደጋጋሚ ክስተቶች ጥናት፣ በተለይ ለ[[ሞገድ|ሞገዶች]] ከፍተኛ ጥቅም አለው። ስለሆነም የትሪጎኖሜትሪ ጥናት ሰፊ ለውጥ ያሳየው ከክርስቶስ ልደት በፊት በ3ኛው ክፍለ ዘመን ሰዎች ጂዎሜትሪን ለ[[ሥነ ከዋክብት]] ጥናት መጠቀም በጀመሩበት ጊዜ ነበር.<ref>R. Nagel (ed.), ''Encyclopedia of Science'', 2nd Ed., The Gale Group (2002)</ref> ። I

በአሁኑ ወቅት፣ ትሪጎኖሜትሪ ለ[[ሒሳብ]]፣ [[ሳይንስ]]፣ [[ቴክኖሎጂ]]፣ [[ሥነ ከዋክብት]] ጥናትና ለ[[መሬት ጥናት]] የሚያግለግል ዋና የሒሳብ መሳሪያ ነው።

== በአጠቃላይ መልኩ ==
[[ስዕል:TrigonometryTriangle.svg|thumb|245px| በቀጥተኛው ሶስት ጎን: {{nowrap|1= sin ''A'' = ''a''/''c'';}} {{nowrap|1= cos ''A'' = ''b''/''c'';}} {{nowrap|1= tan ''A'' = ''a''/''b''.}}]]

የአንድ ሶስት ጎን አንድ ማዕዘን  90 ዲግሪ ቢሆንና አንዱ ሌላው ማዕዘን ከታወቀ፣ ቀሪው ሶሰኛ ማዕዘን ምንጊዜም ይታወቃል።  ለዚህ ምክንያቱ ማናቸውም ሶስት ጎኖች የውስጥ ማዕዘኖቻቸው ሲደመሩ ሁልጊዜ 180 ስለሚሞሉ ነው፡፡ ማዕዘኖቻቸው ታወቁ ማለት ደግሞ ምንጊዜም የጎኖቻቸው [[ውድር]] ቋሚ ነው ማለት ነው።  

ስለሆነም የአንድ [[ቀጥተኛ ሶስት ጎን]] አንድ ማዕዘን ''A'', እና ጎኖች  ''a'', '' b'', ''c'' ቢሰጡ፣ የጎኖቹ ውድሮች እንዲህ ሲባሉ በትርጎኖሜትሪ ፈንክሽኖች ይተረጎማሉ:

* ''' [[ሳይን|ሳይን(Sine)]]''' ከማዕዘኑ ትይዩ ያለው  ጎን ለ[[ተጋዳሚ|ተጋዳሚው(hypotenuse)]] ጎን ሲካፈል
:: <math>\sin A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{a}{\,c\,}\,.</math>
* ''' [[ኮሳይን|ኮሳይን(Cosine)]]'''  ፈንክሽን (cos),  ለማዕዘኑ ታካኪ የሆነው ጎን ለተጋዳሚው ጎን ሲካፈል
:: <math>\cos A=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{b}{\,c\,}\,.</math>
* ''' [[ታንጀንት|ታንጀንት(Tangent)]]'''  ለማዕዘኑ ትይዩ የሆነው ጎን ለታካኪው ሲካፈል
:: <math>\tan A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{adjacent}}=\frac{a}{\,b\,}=\frac{\sin A}{\cos A}\,.</math>

የኒህ ፈንክሽኖች ብዜታዊ  ግልባጮች፣ ተራ በተራ ፣ '''ኮሴካንት ('cosecant)''' (csc ወይንም cosec), ''' ሴካን (secant)''' (sec), እና ''' ኮታንጀንት (cotangent)''' (cot), በመባል ያወቃሉ። 

ከላይ የተጠቀሱት ፈንክሽኖች፣ ከተሰጠ ማዕዘን ተነስተው ውድር የሚያገኙ ሲሆን፣ ከተሰጠ ውድር ተነስተው ማዕዘኑን ማስገኘት የሚያስችሉ [[ዘዋሪ ፈንክሽን|ዘዋሪ ፈንክሽኖችም]] አሉ።   እኒህም   '''አርክሳይን(arcsine)''', ''' አርክኮሳይን(arccosine)''',  እና  ''' አርክታንጀንት(arctangent)''' በመባል ይታወቃሉ። ,

እላይ የተጠቀሱትን ፈንክሽኖች በመጠቀም ማናቸውም በሶስት ጎን ላይ የሚነሱ የማዕዘን ጥያቄወችን መመለስ ይቻላል።  ሁለት ጎናቸው የሚያቅፉት ማዕዘን፣ ወይም፣ ሁለት ማዕዘኖቻቸው እና አንድ ጎናቸው፣ ወይንም ሶስቱ ጎናቸው የሚታወቅ ሶስት ጎኖች፣ ሌሎች ቀሪ ያልታወቁ ጎኖቻቸውና ማዕዘኖቻቸው በትርጊጎኖሜትሪ እንዲታወቅ ያችላል። 

ለምሳሌ አንድ ፎቅ የሚያጠላው ጥላ ርዝመትና የጥላው ማዕዘን ቢታወቅ፣ የፎቁ ርዝመት በትሪጎኖሜትሪ ተሰልቶ ሊገኝ ይችላል።

የትሪጎኖሜትሪ ህጎች በማናቸውም የጂዎሜትሪ ክፍሎች ተጠቃሚነት ያገኛሉ። ለዚህ ምክንያቱ ማናቸውም የጂዎሜትሪ ምስሎች ከተወሰኑ ሶስት ጎኖች ቅንጅት የሚመጡ ናቸውና።


== የትሪጎኖሜትሪ ህግጋት ==
=== መሰረታዊ እኩያዎች ===
እኒህ እኩልዮሾች ለማናቸውም ማዕዘናት ያገለግላሉ

:<math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \ </math>

:<math>\sec^2 A - \tan^2 A = 1 \ </math>

:<math>\csc^2 A - \cot^2 A = 1 \ </math>

=== ምዕዘናት ማሻገሪያ ቀመሮች ===
:<math>\sin (A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B</math>

:<math>\cos (A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B</math>

:<math>\sin (A - B) = \sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B</math>

:<math>\cos (A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B</math>

== ተጨማሪ ቀመሮች ==
[[ስዕል:Triangle with notations 2.svg|thumb|240px|right|''a'',''b'',''c''  የሶስት ጎኑ  ጎኖች ሲሆኑ  ''A'',''B'',''C'' ደግሞ ከጎኖቹ ትይዩ የሚገኙ ማዕዘናት ናቸው]]

በሚከተሉት እኩልዮሾች  ''A'', ''B'' እና  ''C''  የሶስት ጎን ማዕዘና ሲሆኑ  ''a'', ''b'' እና ''c'' ደግሞ ከማዕዘናቱ ፊት ለፊት የሚገኙ ጎኖች ናቸው

=== የሳይኖች ህግ ===
የሳይኖች ህግ እንዲህ ይጻአል

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>
''R'' እዚህ ላይ በሶስት ጎኖቹ ሶስት ነጥቦች ላይ የሚሳልን [[ክብ]] [[ራዲየስ]] ይወክላል ፡

:<math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>

የሶስት ጎኑ [[ስፋት]] ደግሞ እንዲህ ይሰአላል:

:<math>\mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C.</math>

=== የኮሳይኖች ህግ ===
የኮሳይኖች ህግ፣ የ[[ፓይታጎሪያን እርግጥ]]  ከ[[ቀጥተኛ ሶስት ጎን]] ወደ ለማንኛውም ሶስት ጎን ጥቅም ሲሻገር የሚይዘው ቅርጽ ነው፦

:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>

ወይም ደግሞ፦

:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,</math>

=== የታንጀንቶች ህግ ===
የታንጀንቶች ህግ እንዲህ ይላል:

:<math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>

=== የኦይለር ቀመር ===
[[የኦይለር ቀመር]], በሓሳቢው [[ኦይለር]] የተደረሰበት ቀመር ሲሆን፣ እንዲህ ይላል  <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>፣ ሲተነተን የሚከተሉትን ቀመሮችና ትርጓሜዎች ይሰጣል፦

:<math>\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.</math>

== ማጣቀሻዎች ==
{{reflist}}
 
== የውጭ ማያያሻዎች {{en}} ==
* [http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ የትሪጎኖሜትሪ ደስታ (የእንግሊዝኛ ነጻ መጽሐፍ) 1990 ዓ.ም] ፕሪንስተን ዩኒቬርሲቲ
* [http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/index.html ትሪጎኖሜትሪ (የእንግሊዝኛ መጽሐፍ) 1906ዓ.ም.] {{Wayback|url=http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/index.html |date=20071104225720 }} 
* [https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=212&bodyId=81 የትሪጎኖሜትሪ እንቆቅልሾች] 
* [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ አጭር የትሪጎኖሜትሪ ትምህርት] {{Wayback|url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |date=20080615133310 }} ክላርክ ዩኒቨርሲቲ

[[መደብ:ትሪጎኖሜትሪ| ]]