# ጉብጠት
ጉብጠት አንድ መስመር ወይም ገጽታ ከቀጥተኛ መስመር ወይም ከጠፍጣፋ ጠለል የሚለይበትን መጠን የምንለካበት የሂሳብ ጽንሰ ሃሳብ ነው። ከዚህ አንጻር ጉብጠት ማለት በአንድ መስመር ላይ የሚያጋጥመን የአቅጣጫ ለውጥ በእያንዳንዷ የርዝመት መስፈርት ሲካፈል ማለት ነው። ቀስ ብሎ አቅጣጫው ከቀየረ፣ አንስተኛ ጉብጠት አለው እንላለን። አቅጣጫው በፍጥነት ከቀየረ ከፍተኛ ጉብጠት አለው እንላለን
የጉብጠት ጽንሰ ሃሳብ መነሻ ክብ ነው። ሁለት ክቦችን የሚለያያቸው የሬዲየሳቸው መጠን ነው። ከፍተኛ ራዲየስ ወይም ሰፊ ክቦች በቀስታ የሚጎብጡ ስሆኑ ዝቅተኛ ራዲየስ ያላቸው ደግሞ በቶሎ ይጎብጣሉ። ስለዚህ የአንድ ክብ ራዲየስና ጉብጠቱ የተገላቢጦሽ ግንኙነት አላቸው። ስለሆነም የአንድ ክብ ሬዲየስ R ቢሆን ጉብጠቱ 1/R ይሆናል ማለት ነው።
{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}.}
እንግዲህ ከዚህ ተነስተን የማናቸውንም መስመሮች ጉብጠት ለመለካት እንሞክራለን። 
አንድ ጎባጣ መስመር C ቢሰጠንና ነጥብ P እላዩ ላይ ቢሆን, አንድ የተለየ ክብ ያንን ጎባጣ መስመር በዚያ ነጥብ ላይ ከሁሉ በላይ ይቀርበዋል። ይህ ክብ ኦሱሌቲንግ ክብ የሚባለው ነው። ስለሆነም በዚህ ነጥብ ላይ የሚገኘው ኦሱሌቲን ክብ ሬዲየስ ግልባጭ የዚያ መስመር ጉብጠት ይባላል። 
በማዕዘን (አቅጣጫ መለኪያ) የአንድን መስመር ጉብጠት እንዲህ እንለካለን፣ S -- እዚህ ላይ ኢምንት ርዝመት ሲሆን፣ የግሪኩ ፋይ φ ደግሞ ማዕዘን መለኪያ ነው
{\displaystyle \kappa =\lim _{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta S}}={\frac {d\varphi }{dS}}}
የነጥቡን አቀመማመጥ በቬክተር በዚህ መልኩ ብንጽፍ {\displaystyle {\vec {r}}(s)} ፣ እዚያ ነጥብ ያለውን ጉብጠት በቬክተር ስሌት እንዲህ እንጽፋለን፦
{\displaystyle \kappa =\left|{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} s^{2}}}\right|.}
ይህ ዋናው ቀመር ቢሆንም ለተጨባጭ ስራ ስለማያመች፣ ግልጽ የሆኑ ቀመሮቹን እንዲህ እናሰላለን፡
ቀመር 1 ፡
| ቀመር                                                                                                                | አመጣጡ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           |  |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |  |
| መስመሩ f የተባለ ፈንክሽን ምስል ከሆነ ጉብጠቱ እንዲህ ይሰላል፡ {\displaystyle \kappa ={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}} | የዚህ ቀመር አመጣጥ በቀላሉ እንደዚህ ሊገለጽ ይችላል። ማንኛውም ያልተቋረጠ መስመር የተወሰነ ሬድየስ ባለው ክብ በየአካባቢው ሊተካ ይችላል። ስለሆነም መስመሩን ነጥብ ( x , y ) ላይ የሚነካው ክብ የመጀመሪያም ሆነ ሁለተኛው ለውጡ (ደሪቬቲቩ) ከዋናው መስመር ለውጥ ጋር አንድ ነው። እንበልና ይህ ክብ ነጥብ ( p , q ) ላይ የጉብጠት ማዕከሉ ቢገኝ፣ በክብ እኩልዮሽ መሰረት የክቡ ቀመር እንዲህ ይሆናል {\displaystyle \left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}=r^{2}} , (1) r እዚህ ላይ የክቡ ሬዲየስ ነው ይህን እኩልዮሽ ከx አንጻር ስንለውጥ ይህን እናገኛለን {\displaystyle \left(x-p\right)+\left(y-q\right)y'=0} , (2) ሁለተኛውን ለውጥ ለማግኘት እንደገና ስንለውጠው ይህን እናገኛለን {\displaystyle 1+y'^{2}+\left(y-q\right)y''=0} . (3) ከ (3) መልሰን ይህን እናገኛለን {\displaystyle y-q=-\left(1+y'^{2}\right)/y''}, (4) ይህን ውጤት መልሰን (2) ውስጥ ስናስገባ የሚከተለውን እናገኛለን {\displaystyle x-p=y'\left(1+y'^{2}\right)/y''}, (5). (4) እና (5) ን (1) ውስጥ መልሰን ስናስገባ የጉብጠት ሬዲየሱን በቀላሉ እንዲህ እናገኛለን : {\displaystyle r=\left(1+y'^{2}\right)^{\left(3/2\right)}/\left\|y''\right\|} , (6) ስለሆነም ከግራ ያለውን ቀመር፣ የተገኘውን ሬዲየስ በመገልበጥ እናገኛለን ማለት ነው። ማስተዋል ያለብን ይህ ቀመር ለማንኛውም ያልተቆራረጠ መስመር እንደሚሰራ ነው። |  |

ቀመር 2 ፡
| ቀመር                                                                                                                                                                                                                                                                                          | ምሳሌ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          | የባላ ጉብጠቶች በተለያዩ ክፍሎቹ ላይ |
| -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ----------------------- |
| መስመሩ በፓራሜትሪክ እኩልዮሽ የሚወከል ከሆነና በ x ( t ) እና y ( t ) መልኩ ከቀረበ ነጥብ. ( x ( t ), y ( t )) ያለው ጉብጠት እንዲህ ይሰላል {\displaystyle \kappa ={\frac {{\dot {x}}(t){\ddot {y}}(t)-{\ddot {x}}(t){\dot {y}}(t)}{{\big (}{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}{\big )}^{3/2}}}}. (ነጥቦቹ ከ t አንጻር ያለውን ለውጥ ይወክላል) | ይህ ቀመር ከዕለት ተለት ተመክሮአችን ጋር እንደሚስማማ እንፈትነው። ለምሳሌ ድንጋይን ወደጎን በፍጥነት v እንወርውር (የአየር ስብቀትን ለጊዜው ችላ እንበል)። በተለምዶ እንደምናውቀው ይህ ድንጋይ ለተወሰነ ጊዜ በአየር ላይ ከተጓዘ በኋላ በመታጠፍ በተንጋደደ ምህዋር ከመሬት ጋር ይጋጫል። ከፊዚክስ እንደምናውቀው የድንጋዩ አድማሳዊ አቀማመጥ እንዲህ ይሰላል x(t) = vt ፣ ከላይ ወደታች አቀቀማመጥ ደግሞ {\displaystyle y(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+y_{0}} ስለዚህ ጉብጠቱ = {\displaystyle \kappa ={\frac {{\dot {x}}(t){\ddot {y}}(t)-{\ddot {x}}(t){\dot {y}}(t)}{{\big (}{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}{\big )}^{3/2}}}={\frac {-vg-0*gt}{((v)^{2}+(-gt)^{2})^{3/2}}}={\frac {-vg}{{\big (}v^{2}+(gt)^{2}{\big )}^{3/2}}}} ከዚህ እንደምንረዳው ድንጋዩ በተወረወረ መጀመሪያ ምህዋሩ በቶሎ የሚጎብጥ ሲሆን ለብዙ ጊዜ የሚጓዝ ከሆነ ጉብጠቱ ወደ 0 እየተጠጋ ይሄዳል፣ ማለት ቀጥታ ወደ ታች የመውደቅ አዝማሚያ ያሳያል። |                         |

ቀመር3 ፡
መስመሩ በፖላር ኮርዲኔት ከተወከለ፣ ጉብጠቱ እንዲህ ይሰላል
{\displaystyle \kappa ={\frac {(f(\varphi ))^{2}+2(f'(\varphi ))^{2}-f(\varphi )f''(\varphi )}{\left[(f(\varphi ))^{2}+(f'(\varphi ))^{2}\right]^{3/2}}}}

ጉብጠት
'''ጉብጠት''' አንድ መስመር ወይም ገጽታ ከቀጥተኛ መስመር ወይም ከጠፍጣፋ ጠለል የሚለይበትን መጠን የምንለካበት የሂሳብ ጽንሰ ሃሳብ ነው። ከዚህ አንጻር '''ጉብጠት''' ማለት በአንድ መስመር ላይ የሚያጋጥመን የአቅጣጫ ለውጥ በእያንዳንዷ የርዝመት መስፈርት ሲካፈል ማለት ነው። ቀስ ብሎ አቅጣጫው ከቀየረ፣ አንስተኛ ጉብጠት አለው እንላለን። አቅጣጫው በፍጥነት ከቀየረ ከፍተኛ ጉብጠት አለው እንላለን

የጉብጠት ጽንሰ ሃሳብ መነሻ [[ክብ]] ነው። ሁለት ክቦችን የሚለያያቸው የሬዲየሳቸው መጠን ነው። ከፍተኛ ራዲየስ ወይም ሰፊ ክቦች '''በቀስታ''' የሚጎብጡ ስሆኑ ዝቅተኛ ራዲየስ ያላቸው ደግሞ በቶሎ ይጎብጣሉ። ስለዚህ የአንድ ክብ ራዲየስና ጉብጠቱ የተገላቢጦሽ ግንኙነት አላቸው። ስለሆነም የአንድ ክብ ሬዲየስ R ቢሆን ጉብጠቱ 1/R ይሆናል ማለት ነው።

: <math> \kappa = \frac{1}{R}.</math>

እንግዲህ ከዚህ ተነስተን የማናቸውንም መስመሮች ጉብጠት ለመለካት እንሞክራለን። 
[[ስዕል:Osculating circle.svg|right|250px|ኦሱሌቲንግ ክብ]]
አንድ ጎባጣ መስመር ''C'' ቢሰጠንና ነጥብ ''P'' እላዩ ላይ ቢሆን, አንድ የተለየ ክብ ያንን ጎባጣ መስመር በዚያ ነጥብ ላይ ከሁሉ በላይ ይቀርበዋል። ይህ ክብ [[ኦሱሌቲንግ ክብ]] የሚባለው ነው። ስለሆነም በዚህ ነጥብ ላይ የሚገኘው ኦሱሌቲን ክብ ሬዲየስ ግልባጭ የዚያ መስመር ጉብጠት ይባላል። 

በማዕዘን (አቅጣጫ መለኪያ) የአንድን መስመር ጉብጠት እንዲህ እንለካለን፣ S -- እዚህ ላይ ኢምንት ርዝመት ሲሆን፣ የግሪኩ ፋይ φ ደግሞ ማዕዘን መለኪያ ነው
:<math>\kappa=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta\varphi}{\Delta S}=\frac{d\varphi}{dS}</math>
የነጥቡን አቀመማመጥ በ[[ቬክተር]] በዚህ መልኩ ብንጽፍ <math>\vec{r}(s)</math> ፣ እዚያ ነጥብ ያለውን ጉብጠት በቬክተር ስሌት እንዲህ እንጽፋለን፦
:<math>
   \kappa = \left|\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}s^2}\right| .
</math>

ይህ ዋናው ቀመር ቢሆንም ለተጨባጭ ስራ ስለማያመች፣ ግልጽ የሆኑ ቀመሮቹን እንዲህ እናሰላለን፡
'''ቀመር 1 ፡'''
{| class="wikitable"
|-
! ቀመር!! አመጣጡ !!
|-
| መስመሩ  f  የተባለ ፈንክሽን  ምስል ከሆነ ጉብጠቱ እንዲህ ይሰላል፡
:: <math>\kappa = \frac{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}</math>
||  የዚህ ቀመር አመጣጥ በቀላሉ እንደዚህ ሊገለጽ ይችላል። ማንኛውም ያልተቋረጠ መስመር የተወሰነ ሬድየስ ባለው ክብ በየአካባቢው ሊተካ ይችላል።  ስለሆነም መስመሩን ነጥብ  ( x , y )  ላይ የሚነካው ክብ የመጀመሪያም ሆነ ሁለተኛው ለውጡ (ደሪቬቲቩ)  ከዋናው መስመር ለውጥ ጋር አንድ ነው።  እንበልና ይህ ክብ ነጥብ  ( p , q ) ላይ የጉብጠት ማዕከሉ ቢገኝ፣ በ[[ክብ]] እኩልዮሽ መሰረት የክቡ ቀመር እንዲህ ይሆናል 
:<math>\left( x - p \right)^2 + \left( y - q \right)^2=r^2</math>   ,    (1)
r እዚህ ላይ የክቡ ሬዲየስ ነው 
ይህን እኩልዮሽ  ከx አንጻር ስንለውጥ ይህን እናገኛለን 
:<math>\left( x - p \right) + \left( y - q \right)y'=0 </math>   ,     (2)
ሁለተኛውን  ለውጥ ለማግኘት እንደገና ስንለውጠው ይህን እናገኛለን 
:<math>1 + y'^2 + \left( y - q \right)y''=0 </math>  .     (3)
ከ (3) መልሰን ይህን እናገኛለን 
:<math>y - q= - \left( 1 + y'^2 \right)/y'' </math>,    (4)
ይህን ውጤት መልሰን  (2) ውስጥ ስናስገባ የሚከተለውን እናገኛለን 
:<math>x - p=y' \left( 1 + y'^2 \right)/y'' </math>,     (5).
(4) እና (5) ን (1) ውስጥ መልሰን ስናስገባ  የ[[ጉብጠት ሬዲየስ|ጉብጠት ሬዲየሱን]] በቀላሉ እንዲህ እናገኛለን :
:<math>r= \left( 1 + y'^2 \right)^\left(3/2\right)/\left|y''\right|</math>  ,      (6)
ስለሆነም ከግራ ያለውን ቀመር፣ የተገኘውን ሬዲየስ በመገልበጥ እናገኛለን ማለት ነው። ማስተዋል ያለብን ይህ ቀመር ለማንኛውም ያልተቆራረጠ መስመር እንደሚሰራ ነው። 
|}

'''ቀመር 2 ፡'''
{| class="wikitable"
|-
! ቀመር!! ምሳሌ  !! የ[[ባላ]] ጉብጠቶች   በተለያዩ ክፍሎቹ ላይ
|-
|መስመሩ በፓራሜትሪክ እኩልዮሽ የሚወከል ከሆነና በ x ( t ) እና y ( t ) መልኩ ከቀረበ ነጥብ.  ( x ( t ), y ( t )) ያለው ጉብጠት እንዲህ ይሰላል

:: <math>\kappa = \frac{\dot x(t) \ddot y(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{\big(\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2\big)^{3/2}}</math>.

(ነጥቦቹ  ከ t አንጻር ያለውን ለውጥ ይወክላል)
| ይህ ቀመር ከዕለት ተለት ተመክሮአችን ጋር እንደሚስማማ እንፈትነው።
ለምሳሌ ድንጋይን ወደጎን  በፍጥነት v እንወርውር (የአየር ስብቀትን ለጊዜው ችላ እንበል)።  በተለምዶ እንደምናውቀው ይህ ድንጋይ ለተወሰነ ጊዜ  በአየር ላይ ከተጓዘ በኋላ በመታጠፍ  በተንጋደደ ምህዋር ከመሬት ጋር ይጋጫል።
ከፊዚክስ እንደምናውቀው የድንጋዩ አድማሳዊ አቀማመጥ እንዲህ ይሰላል <big>x(t) = vt</big>  ፣  ከላይ ወደታች አቀቀማመጥ ደግሞ  <math>y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+y_0</math>  ስለዚህ 
ጉብጠቱ = <math>\kappa = \frac{\dot x(t) \ddot y(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{\big(\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2\big)^{3/2}} =   \frac{-vg - 0*gt}{((v)^2 + (-gt)^2)^{3/2}} =   \frac{-vg}{\big(v^2 + (gt)^2\big)^{3/2}}  </math>

ከዚህ እንደምንረዳው ድንጋዩ በተወረወረ መጀመሪያ ምህዋሩ በቶሎ የሚጎብጥ ሲሆን ለብዙ ጊዜ የሚጓዝ ከሆነ  ጉብጠቱ ወደ 0 እየተጠጋ ይሄዳል፣ ማለት ቀጥታ ወደ ታች የመውደቅ አዝማሚያ ያሳያል። 
|| [[ስዕል:ParabolaCenterofCurvature.gif|thumb|right|250px| አንድ [[ባላ]] የተለያዩ ቦታወች የተለያየ ጉብጠትና የጉብጠት ሬዲየስ እንዳለው የሚያሳይ]]
|}

'''ቀመር3 ፡'''
መስመሩ በፖላር ኮርዲኔት ከተወከለ፣ ጉብጠቱ እንዲህ ይሰላል

:: <math>\kappa = \frac{(f(\varphi))^2 + 2 (f'(\varphi))^2 - f(\varphi) f''(\varphi)}
{\left[(f(\varphi))^2 + (f'(\varphi))^2\right]^{3/2}}</math>

[[መደብ:ሥነ ጉብጠት]]
[[መደብ:ሥነ-ተፈጥሮ]]