# ሉል
በሂሳብ ጥናት ሉል ማለት ዙሪያው በትክክል ክብ የሆነ 3ቅጥ ያለው የጂዖሜትሪ ፍጥረት ነው። በሌላ አተረጓጎም ሂሳባዊ ሉል በኅዋ ላይ ተንጣለው ያሉ ከአንድ መካከለኛ ነጥብ በእኩል ርቀት የሚገኙ ነጥቦች ስብስብ ነው። ይህ እኩል እርቀት የሉሉ ራዲየስ ሲባል ሉሉን ሰንጥቀው ከሚያልፉት ቀጥተኛ መስመሮች ሁሉ ረጅም የሆነው የሉሉ ወገብ ግማሽ ነው። በሌላ ሶስተኛ አተርጓጎም ሂሳባዊ ሉል አንድን ክብ በራሱ ወገብ ስናሽከረክረው የምንፈጥረው ሶስት ቅጥ ያለው ነገር ነው።

## የሉል ይዘት ስንት ነው?
የሉልን ይዘት V ብንለው እና ራዲየሱን r ብንለው፣ የሉሉ ይዘት እንግዲህ በዚህ ሂሳብ ቀመር ይገለጻል 
{\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
π እዚህ ላይ ፓይ ተብሎ የሚታወቀው ቋሚ ቁጥር ነው። ይህን የይዘት ቀመር የፈጠረው ግሪካዊው አርኪሜድስ ነበር።. 
በአሁኑ ጊዜ ይኸው ቀመረ በአጠራቃሚ ካልኩለስ እንዲህ ሲባል ይገኛል፡ መጀመሪያ ሉሉን ኢምንትውፍረት ወዳላቸው ሥሥ ክቦች እንከትፋለን። እኒህን ክቦች በአግደመት መስመር x ጎን ለጎን እንደረድርና፡ ማለት x = 0 ሲሆን ራዲየሱ r (ወይም. y = r) የሆነው ክብ ይቀመጣል፣ x = r ሲሆን ደግሞ ራዲየሱ 0 (ወይም . y = 0) ይሆናል ማለት ነው። በዚህ መንገድ በያንዳንዷ x ላይ የይዘቱለውጥ (δV) በተቀመጠው ውድድር ክብ እና በኢምንት ውፍረቱ (δx) ብዜት ይገኛል ማለት ነው፡
{\displaystyle \!\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.}
ስለዚህም አጠቃላይ ይዘቱ የያንዳንዷ ይዘት ለውጥ ድምር ነው፣ በካልኩለስ ቋንቋ፣ አጠቃላይ ይዘቱ የኢምንት ይዘቶቹ ጥርቅም ነው ማለት ነው። 
{\displaystyle \!V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.}
δx - ወይም ኢምንት ውፍረቱ- ወደ ዜሮ እየተጠጋ ሲሄድ እንግዲህ 
{\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi y^{2}dx.} እናገኛለን ።
በፓይታጎራስ ቴረም እያንዳንድዱ ቦታ ላይ ይህ አይነት ዝምድና ይታያል
{\displaystyle \!r^{2}=x^{2}+y^{2}.}
ስለዚህም yን በ x እንዲህ በመተካት :
{\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx.}
የሚከተለው ይገኛል
{\displaystyle \!V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=0}^{x=r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.}
በአይነ ህሊናችን እንደምንገነዘበው፣ ይህ ይዘት ለግማሽ ሉል ብቻ ስለሚያገለግል የሙሉው ሉል ይዘት ከላይ የተጠቀሰው ቀመር እጥፍ ነው ማለት ነው። ስለዚህ በሁለት ስናበዛ 
{\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
የሚለውን ይሉል ይዘት ቀመር እናገኛለን።

## የሉልየቆዳ ስፋት
የሉል የቆዳ ስፋት የተገኘው በአርኪሜድስ ሲሆን ቀመሩም እንዲህ ነው
{\displaystyle \!A=4\pi r^{2}.}

## እኩልዮሽ በR3
በተንታኝ ጆሜትሪ፣ (x0፣ y0፣ z0) ላይ አስኳሉ የሚገኝ ሉል ራዲየሱ r ቢሆን እና ነጥቦቹ (x, y, z) ላይ ቢያርፉ፣ የዚህ ሉል እኩልዮሽ እንዲህ ነው
{\displaystyle \,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}
እያንዳንዱ ነጥብ በፓራሜትር ሲተረጎም
{\displaystyle \,x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi }
{\displaystyle \,y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \varphi \leq 2\pi {\mbox{ and }}0\leq \theta \leq \pi )\,}
{\displaystyle \,z=z_{0}+r\cos \theta \,}
ማናቸውም ራዲየስ ያለው ግን መሃከሉ 0 ላይ የሆነ ሉል በለውጥ ካልኩለስ ቀመሩ እንዲህ ይጻፋል:
{\displaystyle \,x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}
- ሉል—የተወሰነ እኩል ይዘት ካላቸው ማናቸውም የተዘጉ ቅርጾች ሁሉ ያነሰ የቆዳ ስፋት አለው።
- ሉል—የተወሰነ እኩል የቆዳ ስፋት ካላችው ማናቸው የተዘጉ ቅርጾች ሁሉ የበለጠ ይዘት አለው።

በዚህ ምክንያት የውሃ ጠብታወች እና ከሳሙና አረፋ የሚወጡ እፉየወች የሉል ቅርጽ አላቸው።
የሉል ቆዳ ስፋት ለሉሉ ግዝፈት ሲካፈል የተወሰነ ቆዳ ስፋት ይባላል፣ ቀመሩም እንዲህ ነው
{\displaystyle SSA={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}.}

ሉል
[[ስዕል:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|right|thumb| 3[[ቅጥ]] ያለው ሉል በ 2 ቅጥ ሲታይ]]

በሂሳብ ጥናት '''ሉል''' ማለት ዙሪያው በትክክል ክብ የሆነ 3[[ቅጥ]] ያለው የጂዖሜትሪ ፍጥረት ነው። በሌላ አተረጓጎም ሂሳባዊ ሉል በኅዋ ላይ ተንጣለው ያሉ ከአንድ መካከለኛ ነጥብ በእኩል ርቀት የሚገኙ ነጥቦች ስብስብ ነው። ይህ እኩል እርቀት የሉሉ [[ራዲየስ]] ሲባል ሉሉን ሰንጥቀው ከሚያልፉት ቀጥተኛ መስመሮች ሁሉ ረጅም የሆነው የሉሉ ወገብ ግማሽ ነው። በሌላ ሶስተኛ አተርጓጎም ሂሳባዊ ሉል አንድን [[ክብ]] በራሱ [[የክብ ወገብ|ወገብ]] ስናሽከረክረው የምንፈጥረው ሶስት [[ቅጥ]] ያለው ነገር ነው።

== የሉል ይዘት ስንት ነው? ==
የሉልን ይዘት V ብንለው እና ራዲየሱን r ብንለው፣ የሉሉ ይዘት እንግዲህ በዚህ ሂሳብ ቀመር ይገለጻል 

:<math>\!V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>

π እዚህ ላይ [[ፓይ]] ተብሎ የሚታወቀው ቋሚ ቁጥር ነው። ይህን የይዘት ቀመር የፈጠረው ግሪካዊው [[አርኪሜድስ]] ነበር።. 

በአሁኑ ጊዜ ይኸው ቀመረ በ[[አጠራቃሚ|አጠራቃሚ ካልኩለስ]] እንዲህ ሲባል ይገኛል፡ መጀመሪያ ሉሉን [[ኢምንት]]ውፍረት ወዳላቸው ሥሥ ክቦች እንከትፋለን። እኒህን ክቦች በአግደመት መስመር ''x'' ጎን ለጎን እንደረድርና፡ ማለት ''x = 0'' ሲሆን ራዲየሱ ''r'' (ወይም. ''y = r'') የሆነው ክብ ይቀመጣል፣ ''x = r'' ሲሆን ደግሞ ራዲየሱ ''0'' (ወይም . ''y = 0'') ይሆናል ማለት ነው። በዚህ መንገድ በያንዳንዷ ''x'' ላይ የይዘቱ[[ለውጥ]] (''δV'') በተቀመጠው ውድድር ክብ እና በኢምንት ውፍረቱ (''δx'') ብዜት ይገኛል ማለት ነው፡

:<math>\!\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

ስለዚህም አጠቃላይ ይዘቱ የያንዳንዷ ይዘት ለውጥ ድምር ነው፣ በ[[ካልኩለስ]] ቋንቋ፣ አጠቃላይ ይዘቱ የኢምንት ይዘቶቹ [[አጠራቃሚ|ጥርቅም]] ነው ማለት ነው። 

:<math>\!V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

δx - ወይም ኢምንት ውፍረቱ- ወደ ዜሮ እየተጠጋ ሲሄድ እንግዲህ 

:<math>\!V = \int_{0}^{r} \pi y^2 dx.</math> እናገኛለን ።

በ[[ፓይታጎራስ ቴረም]] እያንዳንድዱ ቦታ ላይ ይህ አይነት ዝምድና ይታያል

:<math>\!r^2 = x^2 + y^2.</math>

ስለዚህም ''y''ን በ ''x'' እንዲህ በመተካት :

:<math>\!V = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - x^2)dx.</math>

የሚከተለው ይገኛል

:<math>\!V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.</math>

በአይነ ህሊናችን እንደምንገነዘበው፣ ይህ ይዘት ለግማሽ ሉል ብቻ ስለሚያገለግል የሙሉው ሉል ይዘት ከላይ የተጠቀሰው ቀመር እጥፍ ነው ማለት ነው። ስለዚህ በሁለት ስናበዛ 

:<math>\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.</math>

የሚለውን ይሉል ይዘት ቀመር እናገኛለን።
[[ስዕል:Einstein gyro gravity probe b.jpg|thumb|350px|right| በሰው ልጅ ከተሰሩ ሉሎች ሁሉ በጣም ትክክል ነው ተብሎ የሚገመተው ሉል ከ[[አልበርት አንስታይን]]ን ፎቶ ፊት ለፊት ተቀምጦ ይታያል። ከትክክለኛ ሉል የሚለይበት ስህተቱ በ40 አተሞች ብቻ ነው።]]

== የሉል [[የቆዳ ስፋት]] ==
የሉል የቆዳ ስፋት የተገኘው በ[[አርኪሜድስ]] ሲሆን ቀመሩም እንዲህ ነው

:<math>\!A = 4\pi r^2.</math>

== እኩልዮሽ በR<sup>3</sup> ==
በ[[ተንታኝ ጆሜትሪ]]፣ (''x''<sub>0</sub>፣ ''y''<sub>0</sub>፣ ''z''<sub>0</sub>) ላይ አስኳሉ የሚገኝ ሉል ራዲየሱ ''r'' ቢሆን እና ነጥቦቹ (''x'', ''y'', ''z'') ላይ ቢያርፉ፣ የዚህ ሉል እኩልዮሽ እንዲህ ነው

:<math>\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>

እያንዳንዱ ነጥብ በ[[ፓራሜትር]] ሲተረጎም

:<math>\, x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi </math>
:<math>\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ and } 0 \leq \theta \leq \pi ) \,</math>
:<math>\, z = z_0 + r \cos \theta \,</math>

ማናቸውም ራዲየስ ያለው ግን መሃከሉ 0 ላይ የሆነ ሉል በ[[ለውጥ ካልኩለስ]] ቀመሩ እንዲህ ይጻፋል:

:<math>\, x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>

* ሉል—የተወሰነ እኩል ይዘት ካላቸው ማናቸውም የተዘጉ ቅርጾች '''ሁሉ ያነሰ''' የቆዳ ስፋት አለው።
* ሉል—የተወሰነ እኩል የቆዳ ስፋት ካላችው ማናቸው የተዘጉ ቅርጾች '''ሁሉ የበለጠ''' ይዘት አለው።
በዚህ ምክንያት የውሃ ጠብታወች እና ከሳሙና አረፋ የሚወጡ እፉየወች የሉል ቅርጽ አላቸው።

የሉል ቆዳ ስፋት ለሉሉ [[ግዝፈት]] ሲካፈል [[የተወሰነ ቆዳ ስፋት]] ይባላል፣ ቀመሩም እንዲህ ነው

:<math>SSA = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho}.</math>

[[መደብ:ካልኩለስ]]
[[መደብ:ሉል|*]]