# ስብሰባ
በሒሳብ ጥናት፣ ስብሰባ ማለት  ከተሰጠ የነገሮች ስብስብ ውስጥ የተወሰኑትን መርጠን ሌላ ስብስብ የምንሰራበት  መንገድ ማለት ነው። ይህ የስብሰባ መንገድ የተመረጡትንም ሆነ የቀሪውን ስብስብ ነገሮች ቅደም ተከተል ከግምት ውስጥ አያስገባም።  ለምሳሌ፡ ሶስት ፍሬዎች ማለትም ትርንጎ፣ ብርቱካንና  ሎሚ ቢኖሩ፣ አንድ ሰው በስንት አይነት መንገድ 2 ፍሬዎች ሊመርጥ ይችላል? መልሱ በ3 ዓይነት ነው፣ ይሄውም ትርንጎና ብርቱካን (1)፣ ትርንጎና ሎሚ (2) እና በስተመጨረሻ ብርቱካንና ሎሚ (3)  ናቸው። ከሶስት የተለያዩ ነገሮች ሁለቱን በ3 አይነት መምረጥ ይቻላል  ማለት ነው።   ይሄ የሂሳብ ስብሰባ  «መጀመሪያ ምን ተመረጠ፣ ቀጥሎስ ምን ተመረጠ» የሚለውን የቅደም ተከተል ጥያቄ አይመለክተም። ቅደም ተከተል አስፈላጊ ሆኖ ለሚገኝበት የምርጫ አይነት የሚጠቅመው የሂሳብ ጽንሰ ሐሳብ መፐወዝ(መደርደር) ይሰኛል። 
በአጠቃላይ መልኩ አንድ ስብስብ n አባላት ቢኖሩት፣ ከዚያ ስብስብ ውስጥ  የk  አባላት አሰባሰብ (ያለምንም መደገጋገምና ቅደም ተከተል) ብዛት ቀመር እንዲህ ይጻፋል፡
{\displaystyle C_{n,k}={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k(k-1)\dots 1}},}፣  እዚህ ላይ {\displaystyle k\leq n},  ሆኖም  {\displaystyle k>n} ከሆን ቀመሩ  ዜሮ ይሆናል ማለት ነው።
k- ስብሰባ ያላቸው የስብስብ S  አጠቃላይ  ታህታይ ስብስቦች  እንዲህ ይወከላሉ  {\displaystyle {\binom {S}{k}}\,}.
{\displaystyle {\binom {n}{k}},}  ሲነበብ  « ከn ነገሮች ውስጥ  ውስጥ የ k ነገሮች ስብስብ» ወይንም አቀላጥፎ ለማንበብ «ከ n ውስጥ  k  ሲመረጥ » ማለት ነው።
እዚህ ላይ ጥንቃቄ ያስፈልጋል። ከላይ ያለው የስብሰባ ቀመር የሚሰራው ስብሰባ ያለምንም ድግግሞሽ ሲካሄድ ብቻ ነው።  ስብሰባው አንድን ነገር በተደጋጋሚ መምረጥን የሚፈቅድ ከሆነ ቀመሩ መስተካከል ይኖርበታል ማለት ነው። ለምሳሌ አንድ ኩባንያ ሁለት ጸሐፊዎችን መቅጠር ፈለገ።  ለስራው ሁለት እጩዎች ቢቀርቡ፣ ከኒህ እጩዎች ለመምረጥ 1 አይነት መንገድ ብቻ አለ (ድግግም ካልተፈቀደ)። ድግግም ከተፈቀደ ግን በ3 አይነት ሰዎቹን መቅጠር ይቻላል፣ ማለት ሁለቱንም ስራ ለአንዱ በመስጠት (2 መንገድ)፣ ወይንም አንዱን ስራ ላንዱ ሌላኛውን ለሌላው። በሌላ ምሳሌ ለማየት፣ ከላይ የቀረቡት ሶስት ፍሬዎችን በድጋሜ መምረጥ ከተቻለ፣ 3 ተጨማሪ ጥምረቶች (ምርጫዎች) ሊኖሩ ነው ፡ እነርሱም ሁለት ብርቱካኖች፣ ሁለት ትርንጎዎች፣ እና ሁለት ሎሚዎች። 

## የkምርጫ ብዛት ቀመር አመጣጥ
ስብስብ A  ቢሰጥና የስብስብ ብዛቱ  n ቢሆን , የስብስብ ብዛታቸው  k ≤ n  የሆኑ  የስብስብ A ታህታይ ስብስቦች  ብዛት የሚሰላው  መጀመሪያ ከ n ውስጥ k አባላቱ በስንት አይነት መንገድ ይፐወዛሉ ተብሎ ከተጠየቀ በኋላ የሚገኘውን ውጤት በk ድርድሮች ብዛት በማካፈል ነው። ለዚህ ምክንያቱ k አባላቱ ከተመረጡ በኋላ ቢገላበጡ ምንም ለውጥ ስለማያመጡ ነው። በሒሳብ ቋንቋ ሲተረጎም፦
{\displaystyle C_{n,k}={\frac {P_{n,k}}{P_{k}}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={n \choose k}}

### የቀመሩ ምሳሌዎች
ለምሳሌ 6 አባላት ያሉት የእንግሊዝኛ ፊልደል ስብስብ  { a, b, c, d, e, f } ቢሰጥ፣ 4 አባላት ያሏቸው ስንት ታህታይ ስብስቦች ከዚህ ስብስብ መስራት ይቻላል?
ከላይ በተሰጠው ቀመር መሰረት መልሱ እንዲህ ይሰላል፡
{\displaystyle C_{6,4}={\frac {6!}{(6-4)!4!}}={\frac {6!}{2!4!}}={\frac {720}{2\cdot 24}}=15}
{\displaystyle C_{6,4}} ሲነበብ «ከ6 ውስጥ 4 ሲመረጥ» ሲሆን ያገኘነው መልስ 15 ነው። ይህን መልስ ለማረጋገጥ ታህታይ ስብስቦቹን እንዘርዝር፦
abcd, abce, abcf, abde, abdf, abef, acde, acdf, acef, adef
bcde, bcdf, bcef, bdef
cdef
መልሱ ትክክል መሆኑን በሌላ መንገድ ማረጋገጥ ይቻላል። 4 ፊደሎች ለመምረጥ የመጀመሪያውን ፊደል ከ6 ፊደሎች መምረጥ ግድ ይላል፣ ስለዚህ የመጀመሪያው ምርጫ 6 መንገዶች አሉት። ሁለተኛውን ፊደል ለመምረጥ ቀሪ 5 ፊደሎች ስላሉ 5 መንገዶች አሉ። ሦሥተኛውን ፊደል በ4 አይነት መንገድና እንዲሁም አራተኛውን ፊደል በ 3 አይነት መንገድ መምረጥ ይቻላል። ስለሆነም 4ቱን ፊደላት በ6×5×4×3 = 360 መንገድ መምረጥ ይቻላል ማለት ነው። ሆኖም ግን ይህ የፊደሎቹን  ቅደም ተከተል ግምት ውስጥ ያስገባ አመራረጥ ስልት ነው። ለምሳሌ መጀመሪያ aን መምረጥና በሁለተኛ ቦታ aን መምረጥ የግዴታ ሁለት አይነት ምርጫዎች ተደርገው ይወሰዳሉ ማለት ነው። ስለሆነም abcd  እና bacd ሁለት የተለያዩ ምርጫዎች ተደርገው ተቆጥረዋል ነገር ግን በምርጫ ኅልዮት ቅደም ተከተል ግምት ውስጥ አይገባል። ስለሆነም 4 ፊደሎች አንዴ ከተመረጡ በኋላ የሚይዙት 4! የድርድር አይነት  እንደ አንድ ጥምር ብቻ ነው ሚቆጠረው። ስለሆነም ከላይ የተሰጠው 360 አይነት ፕወዛ ለ4! መካፈል አለበት ማለት ነው። በሒሳብ ቋንቋ ሲተረጎም
{\displaystyle C_{6,4}={\frac {P_{6,4}}{P_{4}}}={\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{4!}}={\frac {360}{24}}=15}

### ከሁለትዮሽ የቁጥር ስርዓት ጋር ያለው ተዛምዶ
ከላይ የተጠቀሰውን ምሳሌ በሁለትዮሽ የቁጥር ስርዓት መወከልና ማየት ይቻላል። ማለት 6 ፊደላት ተሰጥተዋል፣ 4 መምረጥ ይጠበቃል።  ለምሳሌ የተመረጡት በ1 ቢወከሉ፣ ያልተመረጡት በ0 ቢወከሉ፣ እያንዳንዱ ምርጫ አራት 1'ዎችና ሁለት 0'ዎች ሊኖሩት ነው ማለት ነው። ስለሆነም ምርጫዎቹ በሞላ በውክልና  ሲዘረዘሩ እንዲህ ይጻፋሉ፡
111100 111010 111001 110110 110101 110011 101110 101101 101011 100111
011110 011101 011011 010111
001111
ይህ አይነት የምርጫ እና የሁለትዮሽ ቁጥር ስርዓት ተዛምዶ ለኮምፒውተር ሳይንስ ጥናት እጅግ ጠቃሚ ነው።

## ድግግሞሽ የሚፈቀድበት ምርጫ ቀመር
ከ n ውስጥ k  ቢመረጥ እና እያንዳንዱ ተመራጭ በእያንዳንዱ ምርጫ እስከ k  ጊዜ መደገም ቢችል፣ አጠቃላይ ድግግም ምርጫው ብዛት እንዲህ ይቀመራል፡ 
{\displaystyle C'_{n,k}=C_{n+k-1,k}={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!k!}}}

### ምሳሌ
አንድ ኬክ ቤት ውስጥ 10 አይነት ኬኮች አሉ። 3ኬክ ለምግዛት ቢፈለግ በስንት አይነት መንገድ  እኒህን ኬኮች መምረጥ ይቻላል?
በላይኛው ቀመር መሰረት፣ መልሱ ከ10 ውስጥ 3 ድግግም ሲመረጥ ነው ማለት ነው። በሒሳብ ቋንቋ ሲተረጎም :{\displaystyle C'_{10,3}=C_{10+3-1,3}={\frac {12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}}=220}። 220 አይነት ምርጫዎች አሉ ማለት ነው!

## የውጭ ማያያዣ(እንግሊዝኛ)
- C የኮምፒውተር ትዕዛዝ (ፍርገማ)-  ለጥምሮች ማስሊያ የሚያገልገል
- የሥነ ጥምር እና የሥነ ስድር መልመጃዎችና መልሶቻቸው Archived ኖቬምበር 18, 2010 at the Wayback Machine
- ያልታወቀው ቀመር ምርጫዎች መደጋገም ሲችሉ
- ድግግም ጥምሮች


ስብሰባ
በ[[ሒሳብ]] ጥናት፣ '''ስብሰባ''' ማለት  ከተሰጠ የነገሮች [[ስብስብ]] ውስጥ የተወሰኑትን መርጠን ሌላ ስብስብ የምንሰራበት  መንገድ ማለት ነው። ይህ የስብሰባ መንገድ የተመረጡትንም ሆነ የቀሪውን ስብስብ ነገሮች ቅደም ተከተል ከግምት ውስጥ አያስገባም።  ለምሳሌ፡ ሶስት ፍሬዎች ማለትም ትርንጎ፣ ብርቱካንና  ሎሚ ቢኖሩ፣ አንድ ሰው በስንት አይነት መንገድ 2 ፍሬዎች ሊመርጥ ይችላል? መልሱ በ3 ዓይነት ነው፣ ይሄውም ትርንጎና ብርቱካን (1)፣ ትርንጎና ሎሚ (2) እና በስተመጨረሻ ብርቱካንና ሎሚ (3)  ናቸው። ከሶስት የተለያዩ ነገሮች ሁለቱን በ3 አይነት መምረጥ ይቻላል  ማለት ነው።   ይሄ የሂሳብ ስብሰባ  «መጀመሪያ ምን ተመረጠ፣ ቀጥሎስ ምን ተመረጠ» የሚለውን የቅደም ተከተል ጥያቄ አይመለክተም። ቅደም ተከተል አስፈላጊ ሆኖ ለሚገኝበት የምርጫ አይነት የሚጠቅመው የሂሳብ ጽንሰ ሐሳብ [[መፐወዝ]](መደርደር) ይሰኛል። 

በአጠቃላይ መልኩ አንድ [[ስብስብ]]  ''n'' አባላት ቢኖሩት፣ ከዚያ ስብስብ ውስጥ  የ''k''  አባላት አሰባሰብ (ያለምንም መደገጋገምና ቅደም ተከተል) ብዛት ቀመር እንዲህ ይጻፋል፡
:<math> C_{n,k}= \binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}  =  \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k(k-1)\dots1},</math>፣  እዚህ ላይ <math>k\leq n</math>,  ሆኖም  <math>k>n</math> ከሆን ቀመሩ  [[ዜሮ]] ይሆናል ማለት ነው። 

''k''- ስብሰባ ያላቸው የ[[ስብስብ]]  ''S''  አጠቃላይ [[ታህታይ ስብስብ| ታህታይ ስብስቦች]]  እንዲህ ይወከላሉ  <math>\binom Sk\,</math>.

:<math> \binom nk ,</math>  ሲነበብ  « ከ''n'' ነገሮች ውስጥ  ውስጥ የ ''k'' ነገሮች ስብስብ» ወይንም አቀላጥፎ ለማንበብ «ከ ''n'' ውስጥ  ''k''  ሲመረጥ » ማለት ነው። 

እዚህ ላይ ጥንቃቄ ያስፈልጋል። ከላይ ያለው የስብሰባ ቀመር የሚሰራው ስብሰባ ያለምንም ድግግሞሽ ሲካሄድ ብቻ ነው።  ስብሰባው አንድን ነገር በተደጋጋሚ መምረጥን የሚፈቅድ ከሆነ ቀመሩ መስተካከል ይኖርበታል ማለት ነው። ለምሳሌ አንድ ኩባንያ ሁለት ጸሐፊዎችን መቅጠር ፈለገ።  ለስራው ሁለት እጩዎች ቢቀርቡ፣ ከኒህ እጩዎች ለመምረጥ 1 አይነት መንገድ ብቻ አለ (ድግግም ካልተፈቀደ)። ድግግም ከተፈቀደ ግን በ3 አይነት ሰዎቹን መቅጠር ይቻላል፣ ማለት ሁለቱንም ስራ ለአንዱ በመስጠት (2 መንገድ)፣ ወይንም አንዱን ስራ ላንዱ ሌላኛውን ለሌላው። በሌላ ምሳሌ ለማየት፣ ከላይ የቀረቡት ሶስት ፍሬዎችን በድጋሜ መምረጥ ከተቻለ፣ 3 ተጨማሪ ጥምረቶች (ምርጫዎች) ሊኖሩ ነው ፡ እነርሱም ሁለት ብርቱካኖች፣ ሁለት ትርንጎዎች፣ እና ሁለት ሎሚዎች። 

== የ  ''k'' ምርጫ ብዛት ቀመር አመጣጥ ==
[[File:Combinations without repetition; 5 choose 3.svg|thumb| 5 አባላት ካለው ስብስብ ውስጥ የተወሰዱ 3 አባላት ያሏቸው [[ታህታይ ስብስብ|ታህታይ ስብስቦች]] ]]
ስብስብ A  ቢሰጥና የ[[ስብስብ ብዛት|ስብስብ ብዛቱ]]  n ቢሆን , የስብስብ ብዛታቸው  k ≤ n  የሆኑ  የስብስብ A [[ታህታይ ስብስብ|ታህታይ ስብስቦች]]  ብዛት የሚሰላው  መጀመሪያ ከ n ውስጥ k አባላቱ በስንት አይነት መንገድ [[መፐወዝ|ይፐወዛሉ]] ተብሎ ከተጠየቀ በኋላ የሚገኘውን ውጤት በk ድርድሮች ብዛት በማካፈል ነው። ለዚህ ምክንያቱ k አባላቱ ከተመረጡ በኋላ ቢገላበጡ ምንም ለውጥ ስለማያመጡ ነው። በሒሳብ ቋንቋ ሲተረጎም፦

:<math>C_{n,k}=\frac{P_{n,k}}{P_k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}={n \choose k}</math>

=== የቀመሩ ምሳሌዎች ===
ለምሳሌ 6 አባላት ያሉት የእንግሊዝኛ ፊልደል ስብስብ  { a, b, c, d, e, f } ቢሰጥ፣ 4 አባላት ያሏቸው ስንት [[ታህታይ ስብስብ|ታህታይ ስብስቦች]] ከዚህ ስብስብ መስራት ይቻላል?

ከላይ በተሰጠው ቀመር መሰረት መልሱ እንዲህ ይሰላል፡
:<math>C_{6,4}=\frac{6!}{(6-4)!4!}=\frac{6!}{2!4!}=\frac{720}{2\cdot 24}=15</math> 
:<math>C_{6,4}</math> ሲነበብ «ከ6 ውስጥ 4 ሲመረጥ» ሲሆን ያገኘነው መልስ 15 ነው። ይህን መልስ ለማረጋገጥ ታህታይ ስብስቦቹን እንዘርዝር፦ 

:abcd, abce, abcf, abde, abdf, abef, acde, acdf, acef, adef
:bcde, bcdf, bcef, bdef
:cdef

መልሱ ትክክል መሆኑን በሌላ መንገድ ማረጋገጥ ይቻላል። 4 ፊደሎች ለመምረጥ የመጀመሪያውን ፊደል ከ6 ፊደሎች መምረጥ ግድ ይላል፣ ስለዚህ የመጀመሪያው ምርጫ 6 መንገዶች አሉት። ሁለተኛውን ፊደል ለመምረጥ ቀሪ 5 ፊደሎች ስላሉ 5 መንገዶች አሉ። ሦሥተኛውን ፊደል በ4 አይነት መንገድና እንዲሁም አራተኛውን ፊደል በ 3 አይነት መንገድ መምረጥ ይቻላል። ስለሆነም 4ቱን ፊደላት በ6×5×4×3 = 360 መንገድ መምረጥ ይቻላል ማለት ነው። ሆኖም ግን ይህ የፊደሎቹን  ቅደም ተከተል ግምት ውስጥ ያስገባ አመራረጥ ስልት ነው። ለምሳሌ መጀመሪያ aን መምረጥና በሁለተኛ ቦታ aን መምረጥ የግዴታ ሁለት አይነት ምርጫዎች ተደርገው ይወሰዳሉ ማለት ነው። ስለሆነም abcd  እና bacd ሁለት የተለያዩ ምርጫዎች ተደርገው ተቆጥረዋል ነገር ግን በምርጫ ኅልዮት ቅደም ተከተል ግምት ውስጥ አይገባል። ስለሆነም 4 ፊደሎች አንዴ ከተመረጡ በኋላ የሚይዙት 4! የድርድር አይነት  እንደ አንድ ጥምር ብቻ ነው ሚቆጠረው። ስለሆነም ከላይ የተሰጠው 360 አይነት ፕወዛ ለ4! መካፈል አለበት ማለት ነው። በሒሳብ ቋንቋ ሲተረጎም

:<math> 
C_{6, 4} = \frac{P_{6,4}}{P_4}=\frac {6 \cdot 5 \cdot  4 \cdot  3} {4 \cdot  3 \cdot  2 \cdot  1} = \frac {6 \cdot 5 \cdot  4 \cdot  3} {4!} = \frac {360} {24} = 15
</math>

===  ከሁለትዮሽ የቁጥር ስርዓት ጋር ያለው ተዛምዶ ===
ከላይ የተጠቀሰውን ምሳሌ በ[[ሁለትዮሽ የቁጥር ስርዓት]] መወከልና ማየት ይቻላል። ማለት 6 ፊደላት ተሰጥተዋል፣ 4 መምረጥ ይጠበቃል።  ለምሳሌ የተመረጡት በ1 ቢወከሉ፣ ያልተመረጡት በ0 ቢወከሉ፣ እያንዳንዱ ምርጫ አራት 1'ዎችና ሁለት 0'ዎች ሊኖሩት ነው ማለት ነው። ስለሆነም ምርጫዎቹ በሞላ በውክልና  ሲዘረዘሩ እንዲህ ይጻፋሉ፡
:111100 111010 111001 110110 110101 110011 101110 101101 101011 100111
:011110 011101 011011 010111
:001111

ይህ አይነት የምርጫ እና የሁለትዮሽ ቁጥር ስርዓት ተዛምዶ ለ[[ኮምፒውተር ሳይንስ]] ጥናት እጅግ ጠቃሚ ነው።

==  ድግግሞሽ የሚፈቀድበት ምርጫ ቀመር==
[[File:Combinations with repetition; 5 multichoose 3.svg|thumb|370px| [[ባይጄክሽን]]<br>3-አባል ባለው ብዙስብስብ (5-አባል ካለው ስብስብ የተወሰዱ) (እና)<br> 3-አባላት ያሏቸው የ 7-አባላት ስብስብ ታህታይ ስብስቦች (በስተግራ)]]

ከ ''n'' ውስጥ ''k''  ቢመረጥ እና እያንዳንዱ ተመራጭ በእያንዳንዱ ምርጫ እስከ ''k''  ጊዜ መደገም ቢችል፣ አጠቃላይ ድግግም ምርጫው ብዛት እንዲህ ይቀመራል፡ 
:<math>C'_{n,k} = C_{n+k-1,k} = {n + k -1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}</math>

=== ምሳሌ ===
አንድ ኬክ ቤት ውስጥ 10 አይነት ኬኮች አሉ። 3ኬክ ለምግዛት ቢፈለግ በስንት አይነት መንገድ  እኒህን ኬኮች መምረጥ ይቻላል?
:በላይኛው ቀመር መሰረት፣ መልሱ ከ10 ውስጥ 3 ድግግም ሲመረጥ ነው ማለት ነው። በሒሳብ ቋንቋ ሲተረጎም :<math>C'_{10,3} = C_{10+3-1,3} = \frac{12\times11\times10}{3\times2\times1} = 220</math>። 220 አይነት ምርጫዎች አሉ ማለት ነው!


==ማጣቀሻ==
{{Reflist}}

== የውጭ ማያያዣ{{en}} ==
* [http://compprog.wordpress.com/2007/10/17/generating-combinations-1/ C የኮምፒውተር ትዕዛዝ (ፍርገማ)-  ለጥምሮች ማስሊያ የሚያገልገል]
* [http://mathforum.org/library/drmath/sets/high_perms_combs.html  የሥነ ጥምር እና የሥነ ስድር መልመጃዎችና መልሶቻቸው] {{Wayback|url=http://mathforum.org/library/drmath/sets/high_perms_combs.html |date=20101118084252 }}
* [http://www.murderousmaths.co.uk/books/unknownform.htm ያልታወቀው ቀመር] ምርጫዎች መደጋገም ሲችሉ
* [http://www.nitte.ac.in/userfiles/file/Combinations%20with%20Repetitions.pdf] ድግግም ጥምሮች

{{አስራ ሁለቱ መንገዶች}}

[[መደብ: ሥነ ጥምረት]]