# ስፋት ብዜት
የስፋት ብዜት በ3 ቅጥ ውስጥ ባሉ ሁለት  ጨረሮች  (ቬክተሮች)  ላይ የሚተገበር የሂሳብ ስሌት ሲሆን ውጤቱም  መጠኑ በሁለቱ  ጨረሮች መካከል ያለው ፓራሎግራም (አራት ማዕዘን) መጠነ ስፋት የሆነና ለሁለቱ ጨረሮችና አቃፊ ጠለላቸው ቀጤነክ የሆነ ጨረር ነው። 

## ትርጓሜ

### የጂዖሜትሪ ትርጓሜ
የሁለት ጨረሮች  a እና b  የስፋት ብዜት እንዲህ ይጻፋል a × b.። 
እንግዲህ የስፋት ብዜት በሂሳባዊ ስሌት እንዲህ ይተረጎማል :
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {n} }
θ  እዚህ ላይ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል የሚገኝ አንስተኛው ማዕዘን ነው ስለሆነም  (0° ≤ θ ≤ 180°)፣  a እና b  የቬክተሮቹ  a እና b መጠን ናቸው።   n ደግሞ መስፈርት ጨረር  እንደመሆኑ መጠን ርዝመቱ 1 የሆነ ለሁለቱ ጨረሮችና ለአቃፊ ጠለላቸው ቀጤ ነክ  የሆነ ቬክተር ነው።  አቅጣጫው ደግሞ በቀኝ እጅ ደንብ የሚገኝ ሲሆን፣  የደንቡ አሰራር ከጎን ባለው ስዕል መሰረት ይካሄዳል።  ማለት የቀኝ እጅ ሌባ እጣት ወደ ቬክተር  a  አቅጣጫ ሲቀሰር፣ የመሃል ጣት ወደ  b እንዲያመለክት ይደረጋል። በዚህ ሁኔታ አውራጣት  የቬክተር   n ን አቅጣጫ ያመለክታል ማለት ነው።

### የማትሪክስ ትርጓሜ
የስፋት ብዜት ከላይ ከተጠቀሰው የጂዖሜትሪ ቀመርና ትርጓሜ በተጨማሪ በማትሪክስ  እንዲህ ይሰላል፡
ሁለት ጨረሮች ቢሰጡንና አካላቶቻቸው እንዲህ ቢጻፉ
a = a1i + a2j + a3k = (a1, a2, a3)
እና
b = b1i + b2j + b3k = (b1, b2, b3).
የስፋት ብዜታቸው የሚከተለው የማትሪክስ ድርድር-ዋጋ ይሆናል፡
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}.}
ከሊኒያር አልጀብራ ትምህርት እንደሚታወቀው ከላይ የተጠቀሰው  ድርድር-ዋጋ እንዲህ ይሰላል
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {i} a_{2}b_{3}+\mathbf {j} a_{3}b_{1}+\mathbf {k} a_{1}b_{2}-\mathbf {i} a_{3}b_{2}-\mathbf {j} a_{1}b_{3}-\mathbf {k} a_{2}b_{1}.}
ስለሆነም 
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} }
ሙሉ በሙሉ የዚህ ድርድር-ዋጋ ሲተነተን ፡
a × b = (a2b3 − a3b2) i + (a3b1 − a1b3) j + (a1b2 − a2b1) k = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1).

## የስፋት ብዜት ጸባዮች
| ጸባይ                                                                | ማብራሪያ                                                                                                                                                         |                                                                                                                                                                                                                            |  |
| ------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |  |
| የስፋት ብዜት በመደመር ላይ ታዳይ ነው                                           | a × (b + c) = (a × b) + (a × c)                                                                                                                               |                                                                                                                                                                                                                            |  |
| የስፋት ብዜት በስኬላር ሲባዛ እንደማንኛውም ብዜትነው                                  | (r a) × b = a × (r b) = r (a × b)                                                                                                                             |                                                                                                                                                                                                                            |  |
| የጃኮቢ ደንብን ይከተላል                                                    | a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0                                                                                                                   |                                                                                                                                                                                                                            |  |
| ሁለት መጠናቸው ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች a እና b ትይዩ የሚሆኑት a × b = 0 ከሆነና ከሆነ ብቻ ነው። | ለምሳሌ <1፣3፣5> እና <4፣5፣7> ትይዩ አይደሉም። ምክንያቱም የስፋት ብዜታቸው <-4፣ 13፣ -7> ስለሆነና 0 ስላልሆነ ነው                                                                            |                                                                                                                                                                                                                            |  |
| i, j, and k መስፈርት ቬክተሮች ሲሆኑ                                        | i × j = k j × k = i k × i = j                                                                                                                                 | j × i = −k × j = −i × k = −j i × i = j × j = k × k = 0                                                                                                                                                                     |  |
| (a × b) × (a × c) = (a · (b × c)) a                                | a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)                                                                                                                             | {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )} |  |
| የስፋት ብዜት ኢ-ተገልባጭ ነው                                                | a × b = −b × a                                                                                                                                                |                                                                                                                                                                                                                            |  |
| የፓራለልፔፒድ (ጎኖቹ ትይዩ የሆኑ ሳጥን) መጠነ ይዘት በስፋት ብዜትና በነጥብ ብዜት ጥንቅር ይሰላል    | {\displaystyle V=\|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\|} ወይም {\displaystyle V=\mathbf {(a\times b)\cdot c} =\mathbf {a\cdot (b\times c)} \ } |                                                                                                                                                                                                                            |  |


ስፋት ብዜት
[[Image:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|ስዕል 1: ወይነ ጠጁ ጨረር የሁለቱ '''a''' &times; '''b''' የስፋት ብዜት ውጤት ነው]]
የ'''ስፋት ብዜት''' በ3 [[ቅጥ]] ውስጥ ባሉ ሁለት  [[ጨረር|ጨረሮች]]  (ቬክተሮች)  ላይ የሚተገበር የሂሳብ ስሌት ሲሆን ውጤቱም  [[የጨረር መጠን|መጠኑ]] በሁለቱ  ጨረሮች መካከል ያለው [[ፓራሎግራም]] (አራት ማዕዘን) መጠነ ስፋት የሆነና ለሁለቱ ጨረሮችና አቃፊ [[ጠለል|ጠለላቸው]] [[ቀጤነክ]] የሆነ ጨረር ነው። 

==  ትርጓሜ  ==
=== የጂዖሜትሪ ትርጓሜ ===
[[Image:Right hand rule cross product.svg|right|thumb| የሁለት ቬክተሮችን የስፋት ብዜት ውጤጥ ማግኛ የ[[ቀኝ እጅ ደንብ]] ]]
[[ስዕል:Producto vectorial 2.png|right|የስፋት ብዜት]]
የሁለት ጨረሮች  '''a''' እና '''b'''  የስፋት ብዜት እንዲህ ይጻፋል {{nowrap|1='''a''' &times; '''b'''.}}። 

እንግዲህ የስፋት ብዜት በሂሳባዊ ስሌት እንዲህ ይተረጎማል :

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{n}</math>

''θ''  እዚህ ላይ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል የሚገኝ አንስተኛው [[ማዕዘን]] ነው ስለሆነም  (0° ≤ ''θ'' ≤ 180°)፣  ''a'' እና ''b''  የቬክተሮቹ  '''a''' እና '''b''' መጠን ናቸው።   '''n''' ደግሞ [[መስፈርት ጨረር ]] እንደመሆኑ መጠን ርዝመቱ 1 የሆነ ለሁለቱ ጨረሮችና ለአቃፊ ጠለላቸው [[ቀጤ ነክ]]  የሆነ ቬክተር ነው።  አቅጣጫው ደግሞ በ[[ቀኝ እጅ ደንብ]] የሚገኝ ሲሆን፣  የደንቡ አሰራር ከጎን ባለው ስዕል መሰረት ይካሄዳል።  ማለት የቀኝ እጅ ሌባ እጣት ወደ ቬክተር  '''a'''  አቅጣጫ ሲቀሰር፣ የመሃል ጣት ወደ  '''b''' እንዲያመለክት ይደረጋል። በዚህ ሁኔታ አውራጣት  የቬክተር   '''n''' ን አቅጣጫ ያመለክታል ማለት ነው።

=== የማትሪክስ ትርጓሜ ===
የስፋት ብዜት ከላይ ከተጠቀሰው የጂዖሜትሪ ቀመርና ትርጓሜ በተጨማሪ በ[[ማትሪክስ]]  እንዲህ ይሰላል፡
ሁለት ጨረሮች ቢሰጡንና አካላቶቻቸው እንዲህ ቢጻፉ

:'''a''' = ''a''<sub>1</sub>'''i''' + ''a''<sub>2</sub>'''j''' + ''a''<sub>3</sub>'''k''' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>)

እና

:'''b''' = ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''b''<sub>2</sub>'''j''' + ''b''<sub>3</sub>'''k''' = (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>3</sub>).

የስፋት ብዜታቸው የሚከተለው የማትሪክስ ድርድር-ዋጋ ይሆናል፡

:<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}.</math>

ከ[[ሊኒያር አልጀብራ]] ትምህርት እንደሚታወቀው ከላይ የተጠቀሰው  ድርድር-ዋጋ እንዲህ ይሰላል
:<math>
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \mathbf{i}a_2b_3 + \mathbf{j}a_3b_1 + \mathbf{k}a_1b_2 - \mathbf{i}a_3b_2 - \mathbf{j}a_1b_3 - \mathbf{k}a_2b_1.
</math>

ስለሆነም 

:<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3\\
b_2 & b_3
\end{vmatrix} \mathbf{i} - 
\begin{vmatrix}
a_1 & a_3\\
b_1 & b_3
\end{vmatrix} \mathbf{j}+
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2\\
b_1 & b_2
\end{vmatrix} \mathbf{k}
</math>

ሙሉ በሙሉ የዚህ ድርድር-ዋጋ ሲተነተን ፡
:'''a''' &times; '''b''' = (''a''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub> &minus; ''a''<sub>3</sub>''b''<sub>2</sub>) '''i''' + (''a''<sub>3</sub>''b''<sub>1</sub> &minus; ''a''<sub>1</sub>''b''<sub>3</sub>) '''j''' + (''a''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> &minus; ''a''<sub>2</sub>''b''<sub>1</sub>) '''k''' = (''a''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub> &minus; ''a''<sub>3</sub>''b''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>''b''<sub>1</sub> &minus; ''a''<sub>1</sub>''b''<sub>3</sub>, ''a''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> &minus; ''a''<sub>2</sub>''b''<sub>1</sub>).

== የስፋት ብዜት ጸባዮች ==
{| class="wikitable"
|-
! ጸባይ !! ማብራሪያ !! 
|-
|የስፋት ብዜት በ[[መደመር]] ላይ [[ታዳይ]] ነው || '''a''' &times; ('''b''' + '''c''') = ('''a''' &times; '''b''') + ('''a''' &times; '''c''') ||
|-
|የስፋት ብዜት በ[[ስኬላር]] ሲባዛ እንደማንኛውም ብዜትነው || (''r''&nbsp;'''a''') &times; '''b''' = '''a''' &times; (''r''&nbsp;'''b''') = ''r''&nbsp;('''a''' &times; '''b''') ||
|-
| የ[[ጃኮቢ ደንብ]]ን ይከተላል || '''a''' &times; ('''b''' &times; '''c''') + '''b''' &times; ('''c''' &times; '''a''') + '''c''' &times; ('''a''' &times; '''b''') = '''0''' ||
|- 
|ሁለት መጠናቸው ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች  '''a''' እና '''b''' [[ትይዩ]] የሚሆኑት  '''a''' &times; '''b''' = '''0''' [[ከሆነና ከሆነ ብቻ]] ነው። ||  ለምሳሌ <1፣3፣5> እና <4፣5፣7> ትይዩ አይደሉም። ምክንያቱም የስፋት ብዜታቸው  <-4፣ 13፣ -7> ስለሆነና 0 ስላልሆነ ነው||
|-
|  '''i''', '''j''', and '''k'''  [[መስፈርት ጨረር| መስፈርት ቬክተሮች]] ሲሆኑ  || '''i''' &times; '''j''' = '''k''' &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''j''' &times; '''k''' = '''i''' &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''k''' &times; '''i''' = '''j''' || '''j''' &times; '''i''' = &minus;'''k''' &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''k''' &times; '''j''' = &minus;'''i''' &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''i''' &times; '''k''' = &minus;'''j''' &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''i''' &times; '''i''' = '''j''' &times; '''j''' = '''k''' &times; '''k''' = '''0''' ||
|-
| ('''a''' &times; '''b''') &times; ('''a''' &times; '''c''') = ('''a''' · ('''b''' &times; '''c''')) '''a''' ||  '''a''' &times; ('''b''' &times; '''c''') = '''b'''('''a''' · '''c''') &minus; '''c'''('''a''' · '''b''') ||   <math>(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})</math> ||
|-
|የስፋት ብዜት  [[ኢ-ተገልባጭ]] ነው || '''a''' &times; '''b''' = −'''b''' &times; '''a''' || [[ስዕል:Cross_product_vector.svg|thumb|100px| የሁለቱ ተባዦች አደራደር ሲቀያየር ምንም እንኳ የውጤታቸው መጠን ባይቀየርም አቅጣጫው ይገላበጣል]]
|-
| የፓራለልፔፒድ (ጎኖቹ ትይዩ የሆኑ ሳጥን) መጠነ ይዘት  በስፋት ብዜትና በ[[ነጥብ ብዜት]] ጥንቅር ይሰላል || <math>V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|</math><br/> ወይም <br/> <math>V =\mathbf{(a \times b) \cdot c} = \mathbf{a \cdot (b \times c)} \ </math>   || [[Image:Parallelepiped volume - dot and cross products.svg|thumb|250px| የሳጥን መጠነ ይዘት በስፋት ብዜትና በነጥብ ብዜት ሲሰላ፣ የተቆራረጡት ነጥቦች የሚያሳዩት  የ  '''c''' ቀጤነክ ጥላ በ  '''a × b''' ላይ ሲያጠላና የ '''a''' ደግሞ  '''b × c''' ላይ ሲያጠላ ነው ]]
|}

[[መደብ :ጨረር]]