# ጥላ ብዜት
ጥላ ብዜት በሌላ ስሙ  የዶት ብዜት ወይም የነጥብ ብዜት፡  በሂሳብ ጥናት፣ ሁለት እኩል አባል ያላቸውን የቁጥር ድርድሮች በመውሰድ፣  የአንዱን ድርድር በሌላው ድርድር አንድ ባንድ በማባዛትና የኒህን ውጤቶች ድምር የምናገኝበት ስሌት ነው።   ይህ ስሌት በተለይ ለጨረሮች እጅግ ጠቃሚ ነው።
ለምሳሌ ሁለት የቁጥር ድርድሮች  a = [a1, a2, ... , an] እና  b = [b1, b2, ... , bn] ቢሴጡን፣ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይገኛል፡
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
Σ  እዚህ ላይ  የመደመሪያ ምልክት ሲሆን  n ደግሞ የጨረሩ(ቬክተሩ)  ቅጥ ነው።
ሁለት  ባለ ሁለት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች  [a,b] እና [c,d] ቢሰጡ፣ የዶት ብዜታቸው ይሄ ነው፡  ac + bd.
ሁለት ባለ ሦሥት ቅጥ  የቁጥር ድርድሮች  [a,b,c] እና  [d,e,f] ቢሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው ad + be + cf.
ይህን በቁጥር ለማየት፣ ለምሳሌ የሚከተሉት ባለ ሦሥት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች   [1, 3, −5]  እና [4, −2, −1]  ይሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይሰላል
{\displaystyle [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]=1\times 4+3\times (-2)+(-5)\times (-1)=4-6+5=3.}

## የጂዖሜትሪ ትርጓሜው
- ቬክተር  a ቢሰጠን፣ የራሱ ጥላ ብዜት (ዶት ብዜት) a · a  የቬክተር  a ርዝመት ስኩየር ነው

{\displaystyle {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}=|\mathbf {a} |^{2}}
||a|| (በሌላ አጻጻፍ  |a|)  የ a ርዝመት ወይም መጠን ነው።
- ቬክተር  b ቢሰጥና ከቬክተር a ጥላ ጋር ቢባዛ፣ ከላይ እንዳየነው የቬክተሩን ውስጣዊ ድርድር ቁጥሮች በማብዛትና በመደመር ጥላ ብዜቱን ማግኘት ይቻላል። ሆኖም ከዚህ ዘዴ ጋር እኩል ተነጻጻሪ  የሆነ ሌላ መንገድ አለ እርሱም፡

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta \,}
እዚህ ላይ  ||a|| እና  ||b||  የሚወክሉት  የa ና  b ን ርዝመት ሲሆን  θ ደግሞ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን  ማዕዘን መጠን ነው።
- ከላይ የተጠቀሰውን  ቀመር በመጠቀም ከቬክተሮቹ ርዝመትና ጥላ ብዜት ተነስተን በመካከላቸው ያለውን ማዕዘን መጠን ማወቅ ይቻላል

{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right)}
ለምሳሌ ሁለት ቬክተሮች a = <1,2> እና  b = <3,5> ቢሰጡን፣ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን ማዕዘን ለማወቅ ቢፈለግ እንዲህ ይሰላል
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right)=\arccos({\frac {<1,2>\cdot \ <3,5>}{{\sqrt {(<1,2>.<1,2>)}}{\sqrt {(<3,5>.<3,5>)}}}})}

## የዶት ብዜት ጸባዮች
የዶት ብዜት  ተገልባጭ ነው:
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}
የዶት ብዜት  ታዳይ  ነው:
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}
የዶት ብዜት   ባይሊኒያር ነው:
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}
የዶት ብዜት በስኬላር ሲባዛ የሚከተለውን ጸባይ ያሳያል:
{\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=(c_{1}c_{2})(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}
ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች  a እና b እርስ በርስ ቀጤ ነክ   የሚሆኑት የዶት ብዜታቸው   a • b = 0 ከሆነና ከሆነ ብቻ ነው።

## ዶት ብዜት በተፈጥሮ ህግጋት ጥናት
- ስራ

```
በተፈጥሮ ህግጋት ጥናት የ
ጉልበት
ና የ
አቀማመጥ ቬክተር
 ዶት ብዜት ውጤት ነው።
```

- የማግኔት ፍለክስ የማግኔት መስክና የስፋት ቬክተሮች ዶት ብዜት ነው።


ጥላ ብዜት
'''ጥላ ብዜት''' በሌላ ስሙ  የ'''ዶት ብዜት''' ወይም የ'''ነጥብ ብዜት'''፡  በሂሳብ ጥናት፣ ሁለት እኩል አባል ያላቸውን የቁጥር ድርድሮች በመውሰድ፣  የአንዱን ድርድር በሌላው ድርድር አንድ ባንድ በማባዛትና የኒህን ውጤቶች ድምር የምናገኝበት ስሌት ነው።   ይህ ስሌት በተለይ ለ[[ቬክተር|ጨረሮች]] እጅግ ጠቃሚ ነው።

ለምሳሌ ሁለት የቁጥር ድርድሮች  '''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ... , ''a''<sub>''n''</sub>] እና  '''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ... , ''b''<sub>''n''</sub>] ቢሴጡን፣ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይገኛል፡
:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n </math>
Σ  እዚህ ላይ  የ[[መደመሪያ]] ምልክት ሲሆን  ''n'' ደግሞ የጨረሩ(ቬክተሩ)  [[ቅጥ]] ነው።

ሁለት  ባለ ሁለት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች  [a,b] እና [c,d] ቢሰጡ፣ የዶት ብዜታቸው ይሄ ነው፡  ac + bd.
ሁለት ባለ ሦሥት ቅጥ  የቁጥር ድርድሮች  [a,b,c] እና  [d,e,f] ቢሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው ad + be + cf.

ይህን በቁጥር ለማየት፣ ለምሳሌ የሚከተሉት ባለ ሦሥት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች   [1, 3, −5]  እና [4, −2, −1]  ይሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይሰላል

:<math>
[1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1]
= 1 \times 4 + 3 \times (-2) + (-5) \times (-1)
= 4 - 6 + 5
= 3.
</math>

== የጂዖሜትሪ ትርጓሜው ==
[[File:Dot Product.svg|thumb|300px|right|A<sub>B</sub> = <nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> cos(''θ'')  እዚህ ላይ የ '''B'''  ላይ ያረፈው የ '''A'''  ጥላ መጠን በ'''B''' ሲባዛ ማለት ነው፣ በ <br> '''A''' • '''B''' = <nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>'''B'''<nowiki>|</nowiki> cos(''θ'') ስለሆነ  A<sub>B</sub> = ('''A''' • '''B''') / <nowiki>|</nowiki>'''B'''<nowiki>|</nowiki>.]]

* ቬክተር  '''a''' ቢሰጠን፣ የራሱ ጥላ ብዜት (ዶት ብዜት) '''a''' · '''a'''  የቬክተር  '''a''' ርዝመት ስኩየር ነው

:<math>{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}=\left\|\mathbf{a}\right\|^2 = |\mathbf{a}|^2 </math>

::  ||'''a'''|| (በሌላ አጻጻፍ  |'''a'''|)  የ '''a''' ርዝመት ወይም መጠን ነው። 

* ቬክተር  '''b''' ቢሰጥና ከቬክተር '''a''' ጥላ ጋር ቢባዛ፣ ከላይ እንዳየነው የቬክተሩን ውስጣዊ ድርድር ቁጥሮች በማብዛትና በመደመር ጥላ ብዜቱን ማግኘት ይቻላል። ሆኖም ከዚህ ዘዴ ጋር እኩል ተነጻጻሪ  የሆነ ሌላ መንገድ አለ እርሱም፡

:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\| \, \left\|\mathbf{b}\right\| \cos \theta \,</math>

::እዚህ ላይ  ||'''a'''|| እና  ||'''b'''||  የሚወክሉት  የ'''a''' ና  '''b''' ን ርዝመት ሲሆን  ''θ'' ደግሞ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን  [[ማዕዘን]] መጠን ነው። 

*  ከላይ የተጠቀሰውን  ቀመር በመጠቀም ከቬክተሮቹ ርዝመትና ጥላ ብዜት ተነስተን በመካከላቸው ያለውን ማዕዘን መጠን ማወቅ ይቻላል

:<math>\theta=\arccos \left( \frac {\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|}\right)</math>

ለምሳሌ ሁለት ቬክተሮች '''a''' = <1,2> እና  '''b''' = <3,5> ቢሰጡን፣ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን ማዕዘን ለማወቅ ቢፈለግ እንዲህ ይሰላል
:<math>\theta=\arccos \left( \frac {\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|}\right) = \arccos ( \frac {<1,2>\cdot\ <3,5>} {\sqrt {(<1,2>.<1,2>)} \sqrt {(<3,5>.<3,5>)}})</math>


== የዶት ብዜት ጸባዮች ==

የዶት ብዜት  [[ተገልባጭ]] ነው:
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math>

የዶት ብዜት  [[ታዳይ]]  ነው:
:<math> \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}. </math>

የዶት ብዜት   [[ባይሊኒያር]] ነው:
:<math> \mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} +  \mathbf{c})
    = r(\mathbf{a} \cdot   \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}).
</math>

የዶት ብዜት በስኬላር ሲባዛ የሚከተለውን ጸባይ ያሳያል:
:<math> (c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) </math>

ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች  '''a''' እና '''b''' እርስ በርስ [[ቀጤ ነክ]]   የሚሆኑት የዶት ብዜታቸው   '''a''' • '''b''' = 0 [[ከሆነና ከሆነ]] ብቻ ነው።

== ዶት ብዜት በ[[ተፈጥሮ ህግጋት ጥናት]]  ==
*{{ተካ|work}} በተፈጥሮ ህግጋት ጥናት የ[[ጉልበት]]ና የ[[አቀማመጥ|አቀማመጥ ቬክተር]] ዶት ብዜት ውጤት ነው።
*የ[[ማግኔት ፍለክስ]] የ[[ማግኔት መስክ]]ና የ[[ስፋት]] ቬክተሮች ዶት ብዜት ነው።

[[መደብ :ጨረር]]