# ማንዴልብሮት
ቤንዋ ማንዴልብሮት (20 ህዳር 1924 – 14 ጥቅምት 2010 እ.ኤ.አ) ታዋቂ የ20 ና የ21ኛው ክፍለዘመን ሒሳብ ፈልሳፊና ተመራማሪ ነበር። የፍርክስክስ ጂዖሜትሪ አባት ተብሎ የሚታወቀው ይህ ሰው በዚህ በፈጠረው የሂሳብ ጥናት ዘርፍ ቅጥ የለሽና የተፈረካከሱ የጂዖሜትሪ ቅርጾችን ፣ በተለይ ባጎላናቸው (ቀረብ ብለን ባየናቸው ጊዜ ሁሉ) ከራሳቸው ጋር ተመሣሣይነት ያላቸውን ክስተቶችን በሂሳብ እኩልዮሽ ለመግለጽ ችሏል።ማንድልብሮት ፖላንድ አገር ተወልዶ በህጻንነቱ ፈራንሳይ አደገ ኋላም ቀሪ ዘመኑን በአሜሪካን አገር አሳለፈ። የአሜሪካና ፈረንሳይ ዜጋ ነበር።

## የፍርክስክስ ጂዖሜትሪ መፈጠር
ከማንዴል ብሮት መነሳት በፊት የነበረው የሂሳብ ተማሪወች አስተሳሰብ እንዲህ ነበር፡ «በአለማችን ላይ የሚገኙ ቅርጾች እጅግ ውስብስብ፣ የጎረበጡ ፣ ፍርክስክስ ያሉና ቅጥ የሌላቸው ስለሆኑ በሂሳብ ቀመር ሙሉ ለሙሉ ለመግለጽ አይቻልም» ። በዚህ ምክንያት ሂሳብ ተማሪወች ትኩረት ሰጥተው ያጠኑት የነበረው በምናባቸው አስተካክለው ለፈጠሩዋቸው ቅርጾች፣ ለምሳሌ ለክብ፣ ሶስት ማዕዘን፣ አራት ማዕዘን፣ ፓራቦላ ወዘተ ነበር። እኒህ እንግዲህ በጣም የተስተካከሉ የምናባዊ አለም ፍጥረቶች እንጂ በርግጥም በተፈጥሮ የማይገኙ ናቸው። የማንዴልብሮት ትልቁ ግኝት እንግዲህ ከዚህ ከምናባዊ አለም ወጥተን ወደ ገሃዱ አለም ስንገባ የምናገኛቸውን የተወሳሰቡ ቅርጾችን፣ ለምሳሌ ደመናን፣ ተራሮችን፣ የባህር ወደብን፣ ዛፎችን በሂሳብ ቀመር ማስቀመጫ ዘዴን ማግኘቱና በሂደት ማስተካከሉ ነበር። ይህ ስራው ለዘመናዊው የኬዖስ ጥናት መሰረት ሆነ።

### የፍርክስክስ ጂዖሜትሪ ጥናት መሰረት
ማንዴልብሮት በ1960ወቹ IBM በተሰኘው የአሜሪካን የኮምፒውተር አምራች ኩባንያ ተቀጥሮ ይሰራ ናበር። በዚህ ወቅት ኮምፒውተሮች በሚያደርጉት የመረጃ ልውውጥ ወቅት የሚነሱ ኤሌክትሪክ ረብሻወች ምክንያት አንዱ ኮምፒዩተር ወደ ሌላው የላከው መልዕክት ስህተት ሆኖ ይገኝ ነበር። ምንም እንኳ የስህተቶቹ ተፈጥሮ በጊዜው በሳይንቲስቶች ባይታወቅም ስህተቶቹ ግን ሁልጊዜ የሚፈጠሩ ሳይሆኑ እየተጠራቀሙ በየተወሰኑ የጊዜ ክፍሎች የሚፈጠሩ መሆኑ ተደረሰበት፣ ማለት ለተወሰነ ጊዜ ስህተት የሌለበት ስራ ይሰራና ብዙ ስህተት ያለበት ስራ ደግሞ ለቀጣዩ ጊዜ ይፈጠራል።
እኒህን ጥርቅም ስህተቶች በቅርበት ሲመረምር በርግጥም ቅጥ አልባ ከመሆን ይልቅ ንድፍ (pattern) እንዳላቸው ተገነዘበ። ንድፋቸውም እንዲህ ነበር፡ ሁለት ሰዓት የኮምፒውተሮቹን ልውውጥ ብናስተውል፣ አንዱ ስዓት ምንም ስህተት ሳይኖር ካለፈ መጪው አንድ ሰዓት ደግሞ ስህተት ይኖረዋል። በተጨማሪ ስህተት የተገኘበትን ሰዓት በ20 በ20 ደቂቃ ብንከፍለው እና ብንመለከት፣ አንዱ 20 ደቂቃ ያለ ስህተት ሲያልፍ ቀጣዩ 20 ደቂቃ ስህተት ይይዛል። እንግዲህ ሰዓቶቹን እየከፋፈለ ባጎላ ቁጥር በሁሉም የማጉሊያ ዘርፍ የስህተት አቃፊው ሰዓት መጠን ከስህተት አልባው ይጊዜ መጠን ጋር ያለው ውድር (ratio) ምንጊዜም ቋሚ እንደሆነ ተገነዘበ። በሌላ አነገጋር የኤሌክትሪኩ ረብሻ በፈለግነው መጠን ባጎላነው ቁጥር እራሱን ደጋሚ መሆኑን አሳየ፣ ማለት እያንዳንዷ ትንሽ ክፍል በጎላች ቁጥር ከሷ በላይ ያለውን የትልቁን ክፍል መልክ/ይዘት/ቅርጽ ትደግማለች።
ማንዴልብሮት ይህ "እራስን የመድገም" ባህርይ በሌሎች የተፈጥሮ ክስተቶች እንደሚታይ ማስተዋል ጀመረ። ለምሳሌ የጥጥ ዋጋን በጥንቃቄ ሲመረመር፣ የየቀኑ፣ የየወሩና የየአመቱ የጥጥ ዋጋ ቅጥ አልባ ቢሆንም ነገር ግን የየቀኑ ዋጋ ለውጥ ከየየወሩ የዋጋ ለውጥ እንዲሁም ከየየአመቱ ለውጥ ጋር አንድ አይነት እንደሆነ ለማወቅ ቻለ። 
የዛፎች ቅጠሎችም ልክ እንዳንጠለጠላቸው ዛፍ ተመሳሳይ ቅርንጫፍ እንዳላቸው በሌላ ወገን ደግሞ የባህር ጠረፎች ላይ የሚስተዋሉት ገባ ብለው ያሉ ሰላጤወች (ወደ ዋናው ምድር ገባ ያሉ ወደቦች) ቀረብ ተብለው ሲታዩ በራሳቸው ላይ እንደገና ገባ ያለ አንስተኛ ሰላጤ ይኖራል ሆኖም እኒህ አንስተኛ ሰላጤወች ቀርበው ሲታዩ ሌሎች አንስተኛ ስላጤወች አሏቸው፣ ወዘተ...። በ1967 ባሳተመው "የብሪታንያ የባህር ጠረፍ ርዝመት ስንት ነው?" በሚለው መጽሃፉ በርግጥም የእንግሊዝ ጠረፍ ህልቁ መሳፍርት ሰላጤወች ያሉትና ርዝመቱ እንደ አትኩረታችን እንደሚለያይ አሳይቷል። የዚህ ምክንያቱ ከላይ ከላዩ እንይ ከተባል ጠረፉን መለካት ቀላል ቢሆንም ቀረብ እያልን ስንሄድ በወደቡ ውስጥ ሰላጤወች እናገኛለን ከዚያ ስንቀርብ በበሰላጤው ውስጥ ሰላጤ እና እያለ ሄዶ በድንጋይ ውስጥ ድንጋይ እናገኛለን በድንጋዩ ውስጥ አሸዋ እያለ ህልቁ መሳፍርት ይጠጋል። ርዝመቱ እንግዲህ በተለምዶ ቢታወቅም በትክክል ግን አይታወቅም።
እነዚህን እራሳቸውን የሚደግሙ ክስተቶች እና ሌሎች ተመሳሳይ ንድፎች በነበረው ሂሳብ መግለጽ እንደማይቻል ስላወቀ በቀጣዮቹ አመታት የፍርክስክስ ጂዖሜትሪን () ለዚህ ተግባር ፈጠረ። ፍራክታል የሚለውንም የሂሳብ ቃል በ1975 ሰየመ። የዚህ ጥናቱ ውጤት በአንዲት የሂሳብ ቀመር ተጠናቀቀ፣ z = z² + c ። ይቺ ቀመር የ ማንዴልብሮት ስብስብ በመባል ትታወቃለች።

### መጽሃፉ ታተመ
በ1982 ዓ.ም፣ ከሌሎች የከፍተኛ ሂሳብ ጥናት መጽሃፎች በላይ የተሸጠውን The Fractal Geometry of Nature (የተፈጥሮ ፍርክስክስ ጂዖሜትሪ ) የተባለውን መጽሃፉን አሳተመ። በዚህ መጽሐፉ «ደመና የኳስ ቅርጽ አይደለም፣ ተራሮች የአሎ አሎ ቅርጽ የላቸውም፣ የባህር ጠረፎች ክብ አይደሉም፣ የዛፍ ቅርፊት ለስላሳ ሳይሆን ሸካራ ነው፣ መብረቅ በቀጥተኛ መንገድ አይጓዝም» በማለት በጊዜው የነበረውን የሂሳብና ሳይንስ አስተያየት ተቸ። የድሮው ጂዖሜትሪ ለተፈጥሮ ክስተቶች ምንም ተስማሚ እንዳልነበር ያሳመነው ማንዴልብሮት በመጽሃፉ እንዴት ከላይ የተገለጹት ክስተቶችና የስቶክ ገበያ ዋጋ ልውውጥ፣ የፈሳሾች ንቅንቅ፣ የመሬት እንቅስቃሴወች፣ ምህዋሮች፣ የእንስሣቶች የቡድን ባህርይና ሙዚቃ ሳይቀር በፍርክስክስ ጂዖሜትሪ ናሙናቸው እንዴት እንዲሰራ አስረዳ። 
ይህ እጅግ ሃይለኛ የሆነ ሂሳብ ፣ በአለንበት የኮምፒውተሮች ዘመን የበለጠ ሃይልን ሊጎናጸፍ ቻለ። በአሁኑ ዘመን ፍርክስክስ ጂዖሜትሪን በመጠቀም እውነተኛ ተራሮችን፣ የባህር ወደቦችን፣ ዛፎችን፣ ደመናወችንና የሴል እድግትን በማስመሰል በኮምፒውተር ስዕልና ተንቀሳቃሽ ምስል መስራት ይቻላል። ከዚህ ሌላ የዲጂታል ምስልን ለመጭመቅ፣ ለመኪና ጎማወች በጣም ጥሩ የሆኑ ንጥረ ነገሮችን ለመመራመር፣ ለአውሮፕላን ክንፍ አቅድ ለማውጣት፣ ሃኪም ቤት ሄዶ የሰውነትን ክፍል በራጅ ለማስነሳት ወዘተ... ከፍተኛ ግልጋሎት ይሰጣል። 
- እራሱን በየደረጃው የሚደግመው አበባ ጎመን። ይህ በፍርክስክስ ጂዖሜትሪ ይገለጻል
- ፍርክስክስ ጂዖሜትሪን ተጠቅሞ በኮምፒውተር የተሳለ የጥድ ቅጠል
- እየጎላ የሚሄድ ተንቀሳቃሽ ምስል። ምስሉን ይጫኑ
- እየጎላ የሚሄድ ተንቀሳቃሽ ምስል። ምስሉን ይጫኑ
- የማንዴልብሮት ስብስብ ሂሳባዊ ስዕል


ማንዴልብሮት
[[ስዕል:Mandelbrot p1130861.jpg|200px|right|thumb|ቤንዋ ማንዴልብሮት]]
'''ቤንዋ ማንዴልብሮት''' (20 ህዳር 1924 – 14 ጥቅምት 2010 እ.ኤ.አ) ታዋቂ የ20 ና የ21ኛው ክፍለዘመን [[ሒሳብ]] ፈልሳፊና ተመራማሪ ነበር። የ[[ፍርክስክስ ጂዖሜትሪ]] አባት ተብሎ የሚታወቀው ይህ ሰው በዚህ በፈጠረው የሂሳብ ጥናት ዘርፍ ቅጥ የለሽና የተፈረካከሱ የጂዖሜትሪ ቅርጾችን ፣ በተለይ ባጎላናቸው (ቀረብ ብለን ባየናቸው ጊዜ ሁሉ) ከራሳቸው ጋር ተመሣሣይነት ያላቸውን ክስተቶችን በሂሳብ እኩልዮሽ ለመግለጽ ችሏል።ማንድልብሮት [[ፖላንድ]] አገር ተወልዶ በህጻንነቱ [[ፈራንሳይ]] አደገ ኋላም ቀሪ ዘመኑን በ[[አሜሪካ]]ን አገር አሳለፈ። የአሜሪካና ፈረንሳይ ዜጋ ነበር።

== የፍርክስክስ ጂዖሜትሪ መፈጠር ==
ከማንዴል ብሮት መነሳት በፊት የነበረው የሂሳብ ተማሪወች አስተሳሰብ እንዲህ ነበር፡ «በአለማችን ላይ የሚገኙ ቅርጾች እጅግ ውስብስብ፣ የጎረበጡ ፣ ፍርክስክስ ያሉና ቅጥ የሌላቸው ስለሆኑ በሂሳብ ቀመር ሙሉ ለሙሉ ለመግለጽ አይቻልም» ። በዚህ ምክንያት ሂሳብ ተማሪወች ትኩረት ሰጥተው ያጠኑት የነበረው በምናባቸው አስተካክለው ለፈጠሩዋቸው ቅርጾች፣ ለምሳሌ ለ[[ክብ]]፣ [[ሶስት ማዕዘን]]፣ [[አራት ማዕዘን]]፣ [[ፓራቦላ]] ወዘተ ነበር። እኒህ እንግዲህ በጣም የተስተካከሉ የምናባዊ አለም ፍጥረቶች እንጂ በርግጥም በተፈጥሮ የማይገኙ ናቸው። የማንዴልብሮት ትልቁ ግኝት እንግዲህ ከዚህ ከምናባዊ አለም ወጥተን ወደ ገሃዱ አለም ስንገባ የምናገኛቸውን የተወሳሰቡ ቅርጾችን፣ ለምሳሌ [[ደመና]]ን፣ [[ተራራ|ተራሮችን]]፣ የ[[ባህር ወደብ|ባህር ወደብን]]፣ [[ዛፍ|ዛፎችን]] በሂሳብ ቀመር ማስቀመጫ ዘዴን ማግኘቱና በሂደት ማስተካከሉ ነበር። ይህ ስራው ለዘመናዊው የ[[ኬዖስ]] ጥናት መሰረት ሆነ።

=== የፍርክስክስ ጂዖሜትሪ ጥናት መሰረት ===
ማንዴልብሮት በ1960ወቹ [[IBM]] በተሰኘው የአሜሪካን የኮምፒውተር አምራች [[ኩባንያ]] ተቀጥሮ ይሰራ ናበር። በዚህ ወቅት ኮምፒውተሮች በሚያደርጉት የመረጃ ልውውጥ ወቅት የሚነሱ [[የኤሌክትሪክ ረብሻ|ኤሌክትሪክ ረብሻወች]] ምክንያት አንዱ ኮምፒዩተር ወደ ሌላው የላከው መልዕክት ስህተት ሆኖ ይገኝ ነበር። ምንም እንኳ የስህተቶቹ ተፈጥሮ በጊዜው በሳይንቲስቶች ባይታወቅም ስህተቶቹ ግን ሁልጊዜ የሚፈጠሩ ሳይሆኑ እየተጠራቀሙ በየተወሰኑ የጊዜ ክፍሎች የሚፈጠሩ መሆኑ ተደረሰበት፣ ማለት ለተወሰነ ጊዜ ስህተት የሌለበት ስራ ይሰራና ብዙ ስህተት ያለበት ስራ ደግሞ ለቀጣዩ ጊዜ ይፈጠራል።
[[ስዕል:Mandelbrot zoom.gif|left|thumb|201px| እየጎላ ሲሄድ እራሱን የሚደግመው የማንዴልብሮት ስብስብ። ትንሿ ክፍል የትልቁ ክፍል ቅጂ እንደሆነች ያስተውሉ]]

እኒህን ጥርቅም ስህተቶች በቅርበት ሲመረምር በርግጥም ቅጥ አልባ ከመሆን ይልቅ [[ንድፍ]] (pattern) እንዳላቸው ተገነዘበ። ንድፋቸውም እንዲህ ነበር፡ ሁለት ሰዓት የኮምፒውተሮቹን ልውውጥ ብናስተውል፣ አንዱ ስዓት ምንም ስህተት ሳይኖር ካለፈ መጪው አንድ ሰዓት ደግሞ ስህተት ይኖረዋል። በተጨማሪ ስህተት የተገኘበትን ሰዓት በ20 በ20 ደቂቃ ብንከፍለው እና ብንመለከት፣ አንዱ 20 ደቂቃ ያለ ስህተት ሲያልፍ ቀጣዩ 20 ደቂቃ ስህተት ይይዛል። እንግዲህ ሰዓቶቹን እየከፋፈለ ባጎላ ቁጥር በሁሉም የማጉሊያ ዘርፍ የስህተት አቃፊው ሰዓት መጠን ከስህተት አልባው ይጊዜ መጠን ጋር ያለው [[ውድር]] (''ratio'') ምንጊዜም ቋሚ እንደሆነ ተገነዘበ። በሌላ አነገጋር የኤሌክትሪኩ ረብሻ በፈለግነው መጠን ባጎላነው ቁጥር [[እራሱን ደጋሚ]] መሆኑን አሳየ፣ ማለት እያንዳንዷ ትንሽ ክፍል በጎላች ቁጥር ከሷ በላይ ያለውን የትልቁን ክፍል መልክ/ይዘት/ቅርጽ ትደግማለች።

ማንዴልብሮት ይህ "እራስን የመድገም" ባህርይ በሌሎች የተፈጥሮ ክስተቶች እንደሚታይ ማስተዋል ጀመረ። ለምሳሌ የ[[ጥጥ]] [[ዋጋ]]ን በጥንቃቄ ሲመረመር፣ የየቀኑ፣ የየወሩና የየአመቱ የጥጥ ዋጋ ቅጥ አልባ ቢሆንም ነገር ግን የየቀኑ ዋጋ ለውጥ ከየየወሩ የዋጋ ለውጥ እንዲሁም ከየየአመቱ ለውጥ ጋር አንድ አይነት እንደሆነ ለማወቅ ቻለ። 

የዛፎች ቅጠሎችም ልክ እንዳንጠለጠላቸው ዛፍ ተመሳሳይ ቅርንጫፍ እንዳላቸው በሌላ ወገን ደግሞ የባህር ጠረፎች ላይ የሚስተዋሉት ገባ ብለው ያሉ ሰላጤወች (ወደ ዋናው ምድር ገባ ያሉ ወደቦች) ቀረብ ተብለው ሲታዩ በራሳቸው ላይ እንደገና ገባ ያለ አንስተኛ ሰላጤ ይኖራል ሆኖም እኒህ አንስተኛ ሰላጤወች ቀርበው ሲታዩ ሌሎች አንስተኛ ስላጤወች አሏቸው፣ ወዘተ...። በ1967 ባሳተመው "የብሪታንያ የባህር ጠረፍ ርዝመት ስንት ነው?" በሚለው መጽሃፉ በርግጥም የእንግሊዝ ጠረፍ ህልቁ መሳፍርት ሰላጤወች ያሉትና ርዝመቱ እንደ አትኩረታችን እንደሚለያይ አሳይቷል። የዚህ ምክንያቱ ከላይ ከላዩ እንይ ከተባል ጠረፉን መለካት ቀላል ቢሆንም ቀረብ እያልን ስንሄድ በወደቡ ውስጥ ሰላጤወች እናገኛለን ከዚያ ስንቀርብ በበሰላጤው ውስጥ ሰላጤ እና እያለ ሄዶ በድንጋይ ውስጥ ድንጋይ እናገኛለን በድንጋዩ ውስጥ አሸዋ እያለ ህልቁ መሳፍርት ይጠጋል። ርዝመቱ እንግዲህ በተለምዶ ቢታወቅም በትክክል ግን አይታወቅም።

እነዚህን እራሳቸውን የሚደግሙ ክስተቶች እና ሌሎች ተመሳሳይ ንድፎች በነበረው ሂሳብ መግለጽ እንደማይቻል ስላወቀ በቀጣዮቹ አመታት የ[[ፍርክስክስ ጂዖሜትሪ]]ን () ለዚህ ተግባር ፈጠረ። ፍራክታል የሚለውንም የሂሳብ ቃል በ1975 ሰየመ። የዚህ ጥናቱ ውጤት በአንዲት የሂሳብ ቀመር ተጠናቀቀ፣ z = z² + c ። ይቺ ቀመር የ [[ማንዴልብሮት ስብስብ]] በመባል ትታወቃለች።

=== መጽሃፉ ታተመ ===
በ1982 ዓ.ም፣ ከሌሎች የከፍተኛ ሂሳብ ጥናት መጽሃፎች በላይ የተሸጠውን The Fractal Geometry of Nature (የተፈጥሮ ፍርክስክስ ጂዖሜትሪ ) የተባለውን መጽሃፉን አሳተመ። በዚህ መጽሐፉ «ደመና የ[[ኳስ]] ቅርጽ አይደለም፣ ተራሮች የ[[አሎ አሎ]] ቅርጽ የላቸውም፣ የባህር ጠረፎች ክብ አይደሉም፣ የዛፍ [[ቅርፊት]] ለስላሳ ሳይሆን ሸካራ ነው፣ [[መብረቅ]] በቀጥተኛ መንገድ አይጓዝም» በማለት በጊዜው የነበረውን የሂሳብና ሳይንስ አስተያየት ተቸ። የድሮው ጂዖሜትሪ ለተፈጥሮ ክስተቶች ምንም ተስማሚ እንዳልነበር ያሳመነው ማንዴልብሮት በመጽሃፉ እንዴት ከላይ የተገለጹት ክስተቶችና የ[[ስቶክ ገበያ]] ዋጋ ልውውጥ፣ የፈሳሾች ንቅንቅ፣ የመሬት እንቅስቃሴወች፣ ምህዋሮች፣ የእንስሣቶች የቡድን ባህርይና ሙዚቃ ሳይቀር በ[[ፍርክስክስ ጂዖሜትሪ]] ናሙናቸው እንዴት እንዲሰራ አስረዳ። 

ይህ እጅግ ሃይለኛ የሆነ ሂሳብ ፣ በአለንበት የኮምፒውተሮች ዘመን የበለጠ ሃይልን ሊጎናጸፍ ቻለ። በአሁኑ ዘመን ፍርክስክስ ጂዖሜትሪን በመጠቀም እውነተኛ ተራሮችን፣ የባህር ወደቦችን፣ ዛፎችን፣ ደመናወችንና የሴል እድግትን በማስመሰል በኮምፒውተር ስዕልና ተንቀሳቃሽ ምስል መስራት ይቻላል። ከዚህ ሌላ የ[[ዲጂታል ምስል]]ን ለመጭመቅ፣ ለመኪና ጎማወች በጣም ጥሩ የሆኑ ንጥረ ነገሮችን ለመመራመር፣ ለ[[አውሮፕላን]] ክንፍ አቅድ ለማውጣት፣ ሃኪም ቤት ሄዶ የሰውነትን ክፍል በራጅ ለማስነሳት ወዘተ... ከፍተኛ ግልጋሎት ይሰጣል። 

<gallery>
ስዕል:Cauliflower_Fractal_AVM.JPG| እራሱን በየደረጃው የሚደግመው [[አበባ ጎመን]]። ይህ በፍርክስክስ ጂዖሜትሪ ይገለጻል
ስዕል:Barnsley_fern_mutated_-Leptosporangiate_fern.PNG| ፍርክስክስ ጂዖሜትሪን ተጠቅሞ በኮምፒውተር የተሳለ የጥድ ቅጠል
Image:Fractal_01.jpg|
Image:Fractal_02.jpg|
Image:Fractal_03.jpg|
Image:Fractal_04.jpg|
Image:Fractal_05.jpg|
Image:Fractal_06.jpg|
Image:Mandelbrot Animation1.gif
Image:Fractal-zoom-1-03-Mandelbrot Buzzsaw.ogg| እየጎላ የሚሄድ ተንቀሳቃሽ ምስል። ምስሉን ይጫኑ
Image:Fractal-zoom-1-04-Snowflake.ogg| እየጎላ የሚሄድ ተንቀሳቃሽ ምስል። ምስሉን ይጫኑ
Image:Mandelset hires.png| የማንዴልብሮት ስብስብ ሂሳባዊ ስዕል
</gallery>

[[መደብ:የፈረንሳይ ሰዎች]]
[[መደብ:ሒሳብ ተመራማሪዎች]]