# Геометри
Геометри (грек: γημετρεω үгэһээ, ород: геометрия үгээр) — дүрсые һудалдаг тооной ухаан шэнжэлхэ ухаанай һалбари юм. Геометриин һалбари шэнжэлхэ ухаануудта тус тусын «дүрсые» һудалгаанай объект болгон абажа үзэхэ болоод геометриие бусад шэнжэлхэ ухаанда ашаглахые «геометрилиг» һудалгаа гэнэ. Геометринь тооной ухаанай нэгэ үндэһэн һалбарида тоосогдодог.

## Һунгадаг геомтери
Һунгадаг геомтери Евклидэй оруулжа ерэһэн аксиоматика тогтолсоон дээрэ үндэһэлэгдэдэг. Геометринь геометриин бүтэсэнүүдэй хоорондохо харисаае һудалдаг.
Хэмжэлтэ гэдэгынь үгэгдэлые объекттой, гадаргуугай утыншье юмуу үнсэгэй хямдахан үүдхэжэ болохо стандарттай жэшэхэ гэһэн үгэ юм. Сохомдоо энэл үүдэнһээ эхилэн геометрнууд хэшээллэдэг байба. Евклидэй геометри сэг, шугам, сэхэ шугамай тодорхойлолтонуудые ашагладаг байба. Эдэгээр ойлголтоһоо үүдэн, тэрээр бидэнэй ойлгожо байгаагаар, тоое ашаглалгүйгээр хүгжэн үргэжэһэн байна.

### Транспортир ба шугам
Геометриин һунгадаг үндэһэн үйлэдэлнүүдынь тодорхой хэмжээнэйхинь талаархи мэдэлгэгүйгээр хэршэмые юмуу үнсэгые тэгшэ хубааха ябадал юм. Үйлэдэл бүри энгын алхамуудаар гүйсэдхэгдэнэ: үгэгдэһэн хоёр сэгые дайруулан сэхэ татаха, үгэгдэһэн сэгые нүгөө үгэгдэһэн сэгтэй дайруулан тойрог татаха, үгэгдэһэн утатай хэршэм татаха зэргэ. Эдэгээр бүхы үйлэдэлнүүдые дээрэнь хэмжэһээ табяагүй шугам болон транспортираар гүйсэдхэжэ болоно.

### Геометри болон тоонууд
Геометриин байгууламжые арифметикын үйлэдэлнүүдые хэхэ баримжаа бологон зохёодог. Жэшээнь сэхэ дээрэхи хоёр хэршэмые нэгэдхэхэд ниилбэритэйнь тэнсүү. Тэгшэ үнсэгтэй гурбалжан тоонуудай үржэбэритэй харгалзадаг: тэрэнэй талануудые хэмжэжэ болоно. Харин тэдэгээрэй үржэбэринь уг тэгшэ үнсэгтэй гурбалжанай талмай болодог. Квадратай диагоналииин утые олодогынь онсогой тохёолдол юм. Тэрэниие Пифагорой томьёогоор бододог: {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}, эндэ {\displaystyle c} – диагоналиин ута, хэрэб {\displaystyle a} болон {\displaystyle b}–иин орондо нэгэжэ утатай квадратай талануудые табибал бидэ {\displaystyle c^{2}=1^{2}+1^{2}=2} гэжэ гаргажа абана. Эндэһээ ямар тооные үржүүлхэд 2 болохо бэ гэһэн асуулта гаража ерэнэ. Хоёрой тооной квадрат изагуур юутай тэнсүү бэ? Арифметикэдэ энгэжэ тооной шэнэ анги гаража ерэдэг. Хоёрой тооной квадрат изагуурынь иррациональ тоондо хамаарагдана, энэнь хоёр бүхэл тоое хубааһанай үрэ дүн хэлбэригээр түһөөлжэ болохогүй.

### Тэгшэ үнсэгэй байгуулалта
Тэгшэ үнсэгэй байгуулхын тулада үгэгдэһэн сэхын үгэгдэһэн М сэгтэ эхилээд энэ сэгтэ түбтэй тойрог зураха хэрэгтэй. Энэ тойрогой А В сэхэтэй огтололсохо сэгүүдые нэрлэнэ. Одоо радиусынь анханай тойрогһоо ехэ байха А В сэгтэй тойрогуудые байгуулна. Хоёр томо тойрогой огтололсолой сэгүүдые дайран үнгэржэ бай сэхэ S1 S2 анханай сэхэ дээрэхи М сэгые тэгшэ үнсэгөөр огтолхо болоно.
Үгэгдэһэн АВ хэршэмые тэг дундуурынь хубаагша перпендикулярые түһэтэй аргаар байгуулдаг. S1 S2 сэхые дамжуулан А болон В түбтэй адли радиустай тойрогууд байгуулна. Тэрээр АВ сэхые М сэгтэ тэнсүү хубаана.

### Үнсэг болон саг хугасаа
Тойрогые дурын хэһэгтэ хубааха бололсоотой бол, үнсэгые дурын нэгэжээр хэмжэхэ бололсоотой. Вавилоной математикуудай гаргаһан тойрогые 360° хубаалтань үнсэгые олон хубааһанай дараа ехэбшэлэн бүхэл удханууд үлдэдэг гэһэн шалтагаанаар тохиромжотой юм. Энэнь 1-100 хүрэтэрхи бүхы тоонуудой дотор 60 гэдэг тоо хамагай олон хубаагша тоотой (2,3,4...) байдагһаа үүдэлтэй. Хэрэб 60°-ые хоёр дахин тэнсүү хубаахад сагые хэмжэлтэтэй холбоотой 15° үнсэг гарана: 15° = 360°/24. Уламаар Дэлхэйн 15° эргэлтэ тутамынь нэгэ сагай дотор ябагдадаг. Нэгэ сагта 60 минут байдагынь 60 секундээр 60 удаа гэһэн үгэ.

## Геометриин дүрсэнүүд

### Тэгшэ дүрсэнүүд
Хабтагарда оршохо болоод хэмжээ тоо иимэ тогтосо. Тэгшэ дүрсэнүүдэй жэшээ: 
- Хабтагар муры - гэхэ мэтэ жэшээнь коническа хэһэгүүд (тойрог, эллипс, парабола, гипербола) циклоид, Гинжин шугам
- Гурбалжан, дүрбэлжэн болон бусад олон үнсэгтэн, сахариг, гэхэ мэтэ.


### Орон зайн дүрсэнүүд
Орон зайн нэгэжэ үүр онгосондо ёһогүй гэдэгые нэгэжэ юм. Жэшээнь: 
- Орон зайн муры - жэшээнь, шүрэбэй шугам
- Орон зайн гадаргуу
- Бэедэнүүд - цилиндр, конус, г.м.

- Тойрог
- Пифагорой теоремын гурбалжан
- Тэгшэ үнсэгтэй гурбалжан, параллелограм ба сахариг
- Зүб зургалжан ба тэрэнэй тэгшэ хэмэй тэнхэлиг
- Хоёр зэргэсээ сэхэ
- Пирамида, бүмбэгэ ба куб
- Тетраэдр
- Зүб октаэдр, ба Платоной бэетэнүүд
- Сферэ (бүмбэгын нюруу)
- Эллипсоид
- Зүб додекаэдр, ба Платоной бэетэнүүд
- Пентадэкагон
- Гептадэкагон
- Конус
- Зүб икосаэдр, ба Платоной бэетэнүүд


Геометри
[[Файл:Woman teaching geometry.jpg|thumb|200px|Геометриие һургадаг эхэнэр. [[Евклид]]эй «Элементнүүд» номһоо зураг, [[14 зуун|XIV зуунай]] эхин.]]
'''Геометри''' ({{lang-gr|γημετρεω}} үгэһээ<ref name="word">Геометри хэмээхэ үгэнь грек хэлээр «γη» гео — газар, «μετρεω» метр — хэмжэхэ гэһэн удхатай.</ref>, {{lang-ru|геометрия}} үгээр) — [[дүрсэ|дүрсые]] һудалдаг [[тооной ухаан]] [[шэнжэлхэ ухаан]]ай һалбари юм. Геометриин һалбари шэнжэлхэ ухаануудта тус тусын «дүрсые» һудалгаанай объект болгон абажа үзэхэ болоод геометриие бусад шэнжэлхэ ухаанда ашаглахые «геометрилиг» һудалгаа гэнэ. Геометринь [[тооной ухаан]]ай нэгэ үндэһэн һалбарида тоосогдодог.

== Һунгадаг геомтери ==
Һунгадаг геомтери [[Евклид]]эй оруулжа ерэһэн аксиоматика тогтолсоон дээрэ үндэһэлэгдэдэг. Геометринь геометриин бүтэсэнүүдэй хоорондохо харисаае һудалдаг.

Хэмжэлтэ гэдэгынь үгэгдэлые объекттой, гадаргуугай утыншье юмуу үнсэгэй хямдахан үүдхэжэ болохо стандарттай жэшэхэ гэһэн үгэ юм. Сохомдоо энэл үүдэнһээ эхилэн геометрнууд хэшээллэдэг байба. [[Евклид]]эй геометри сэг, шугам, сэхэ шугамай тодорхойлолтонуудые ашагладаг байба. Эдэгээр ойлголтоһоо үүдэн, тэрээр бидэнэй ойлгожо байгаагаар, тоое ашаглалгүйгээр хүгжэн үргэжэһэн байна.

=== Транспортир ба шугам ===
[[File:Areaspitagoras01.svg|thumb|left|200px|Гипотенузатай тэнсүү талатай квадратай талмай (''c<sup>2</sup>'') катетуудынь тэнсүү талатай (''a<sup>2</sup>'' болон ''b<sup>2</sup>'') квадратуудай талмайн ниилбэритэй тэнсүү]]
Геометриин һунгадаг үндэһэн үйлэдэлнүүдынь тодорхой хэмжээнэйхинь талаархи мэдэлгэгүйгээр хэршэмые юмуу үнсэгые тэгшэ хубааха ябадал юм. Үйлэдэл бүри энгын алхамуудаар гүйсэдхэгдэнэ: үгэгдэһэн хоёр сэгые дайруулан сэхэ татаха, үгэгдэһэн сэгые нүгөө үгэгдэһэн сэгтэй дайруулан тойрог татаха, үгэгдэһэн утатай хэршэм татаха зэргэ. Эдэгээр бүхы үйлэдэлнүүдые дээрэнь хэмжэһээ табяагүй шугам болон транспортираар гүйсэдхэжэ болоно.

=== Геометри болон тоонууд ===
Геометриин байгууламжые [[арифметикэ|арифметикын]] үйлэдэлнүүдые хэхэ баримжаа бологон зохёодог. Жэшээнь сэхэ дээрэхи хоёр хэршэмые нэгэдхэхэд ниилбэритэйнь тэнсүү. [[Тэгшэ үнсэгтэй гурбалжан]] тоонуудай үржэбэритэй харгалзадаг: тэрэнэй талануудые хэмжэжэ болоно. Харин тэдэгээрэй үржэбэринь уг тэгшэ үнсэгтэй гурбалжанай талмай болодог. Квадратай диагоналииин утые олодогынь онсогой тохёолдол юм. Тэрэниие Пифагорой томьёогоор бододог: <math>c^{2} = a^{2} + b^{2}</math>, эндэ <math>c</math> – диагоналиин ута, хэрэб <math>a</math> болон <math>b</math>–иин орондо нэгэжэ утатай квадратай талануудые табибал бидэ <math>c^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2</math> гэжэ гаргажа абана. Эндэһээ ямар тооные үржүүлхэд 2 болохо бэ гэһэн асуулта гаража ерэнэ. Хоёрой тооной квадрат изагуур юутай тэнсүү бэ? Арифметикэдэ энгэжэ тооной шэнэ анги гаража ерэдэг. Хоёрой тооной квадрат изагуурынь иррациональ тоондо хамаарагдана, энэнь хоёр бүхэл тоое хубааһанай үрэ дүн хэлбэригээр түһөөлжэ болохогүй.

=== Тэгшэ үнсэгэй байгуулалта ===
[[Файл:Perpendicular bisector.gif|мини|150px|Тойрогууд болон сэхэ шугамуудай туһаламжатайгаар тэгшэ үнсэг байгуулалта]]
Тэгшэ үнсэгэй байгуулхын тулада үгэгдэһэн сэхын үгэгдэһэн М сэгтэ эхилээд энэ сэгтэ түбтэй тойрог зураха хэрэгтэй. Энэ тойрогой А В сэхэтэй огтололсохо сэгүүдые нэрлэнэ. Одоо радиусынь анханай тойрогһоо ехэ байха А В сэгтэй тойрогуудые байгуулна. Хоёр томо тойрогой огтололсолой сэгүүдые дайран үнгэржэ бай сэхэ S<sub>1</sub> S<sub>2</sub> анханай сэхэ дээрэхи М сэгые тэгшэ үнсэгөөр огтолхо болоно.
Үгэгдэһэн АВ хэршэмые тэг дундуурынь хубаагша [[перпендикулярые]] түһэтэй аргаар байгуулдаг. S<sub>1</sub> S<sub>2</sub> сэхые дамжуулан А болон В түбтэй адли радиустай тойрогууд байгуулна. Тэрээр АВ сэхые М сэгтэ тэнсүү хубаана.

=== Үнсэг болон саг хугасаа ===
Тойрогые дурын хэһэгтэ хубааха бололсоотой бол, үнсэгые дурын нэгэжээр хэмжэхэ бололсоотой. Вавилоной математикуудай гаргаһан тойрогые 360° хубаалтань үнсэгые олон хубааһанай дараа ехэбшэлэн бүхэл удханууд үлдэдэг гэһэн шалтагаанаар тохиромжотой юм. Энэнь 1-100 хүрэтэрхи бүхы тоонуудой дотор 60 гэдэг тоо хамагай олон хубаагша тоотой (2,3,4...) байдагһаа үүдэлтэй. Хэрэб 60°-ые хоёр дахин тэнсүү хубаахад сагые хэмжэлтэтэй холбоотой 15° үнсэг гарана: 15° = 360°/24. Уламаар [[Дэлхэй]]н 15° эргэлтэ тутамынь нэгэ сагай дотор ябагдадаг. Нэгэ сагта 60 минут байдагынь 60 секундээр 60 удаа гэһэн үгэ.

== Геометриин дүрсэнүүд ==
=== Тэгшэ дүрсэнүүд === 
[[Хабтагар]]да оршохо болоод хэмжээ тоо иимэ тогтосо. Тэгшэ дүрсэнүүдэй жэшээ: 
* Хабтагар муры - гэхэ мэтэ жэшээнь коническа хэһэгүүд (тойрог, эллипс, парабола, гипербола) циклоид, Гинжин шугам 
* [[Гурбалжан]], [[дүрбэлжэн]] болон бусад олон үнсэгтэн, [[сахариг]], гэхэ мэтэ.

=== Орон зайн дүрсэнүүд === 
Орон зайн нэгэжэ үүр онгосондо ёһогүй гэдэгые нэгэжэ юм. Жэшээнь: 
* [[Орон зайн муры]] - жэшээнь, шүрэбэй шугам 
* Орон зайн гадаргуу 
* Бэедэнүүд - цилиндр, конус, г.м.

<center>
<gallery perrow="5">
File:Circle - black simple.svg|[[Тойрог]]
File:Square root of 2 triangle.svg|[[Пифагор]]ой теоремын гурбалжан
File:Shape Area.svg|[[Тэгшэ үнсэгтэй гурбалжан]], [[параллелограм]] ба&nbsp;[[сахариг]]
File:Hexagon Reflections.png|[[Зүб зургалжан]] ба тэрэнэй [[тэгшэ хэмэй тэнхэлиг]]
File:Two parallel lines a b.svg|Хоёр [[зэргэсээ байдал|зэргэсээ сэхэ]]

File:Basic shapes.svg|[[Пирамида]], [[бүмбэгэ]] ба [[куб]]
File:Tetrahedron (PSF).png|[[Тетраэдр]]
File:Octaedre.png|Зүб [[октаэдр]], ба&nbsp;[[Платоной бэетэ]]нүүд
File:Sphere wireframe.svg|[[Сферэ]] ([[бүмбэгэ|бүмбэгын]] нюруу)
File:ProlateSpheroid.png|[[Эллипсоид]]

File:Geometria - Dodecaedro.jpg|Зүб [[додекаэдр]], ба&nbsp;[[Платоной бэетэ]]нүүд
File:Regular pentadecagon.svg|[[Пентадэкагон]]
File:Heptadecagon.svg|[[Гептадэкагон]]
File:Cone.svg|[[Конус]]
File:Geometria - Icosaedro.jpg|Зүб [[икосаэдр]], ба&nbsp;[[Платоной бэетэ]]нүүд
</gallery>
</center>

== Зүүлтэ ==
{{зүүлтэ}}

== Холбооһон ==
{{Commonscat|Geometry}}
* [http://geometricarts.googlepages.com/home Geometric Arts] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080723175722/http://geometricarts.googlepages.com/home |date=2008-07-23 }} Aesthetic Geometry Site
* {{публикация|книга
 | автор          = Комацу, Мацуо.
 | заглавие       = Многообразие геометрии
 | место          = М.
 | издательство   = Знание
 | год            = 1981
 | ref            = Комацу
}}
* {{публикация|книга
 | автор          = [[Левитин, Карл Ефимович|Левитин, К. Е.]]
 | заглавие       = Геометрическая рапсодия
 | издание        = 3-е изд., перераб. и доп
 | место          = М.
 | издательство   = ИД «Камерон»
 | год            = 2004
 | страниц        = 216
 | isbn           = 5-9594-0023-5
 | ref            = Левитин
}}
* {{публикация|книга
 | автор          = [[Шаль, Мишель]].
 | заглавие       = Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов
 | викитека       = Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов
 | томов          = 2
 | место          = М.
 | издательство   = М. Катков
 | год            = 1883
 | ref            = Шаль
}}

{{1000 үгүүлэл}}
{{Шэнжэлхэ ухаан}}

[[Категори:Геометри| ]]


{{Sci-stub}}