# Арифметикэ
Арифметикэ (грек: ἀριθμητική, грек: ἀριθμός — тоон) буюу тооной онол — хатуухан хэлэхэд тоон тоосоололые һудалжа бай тооной ухаанай хамагай эртэ һэлбэри. Үндэһэндээ түүнэй зорилтонь тооной янза бүриин хэлбэринүүдэй шэнжэлгээ юм.
Арифметикын гурбан үйлэдэл бол:
- Нэмэхэ үйлэдэл ({\displaystyle +} тэмдэглэһэн)
- Хаһаха үйлэдэл ({\displaystyle -} тэмдэглэһэн)
- Үрэжүүлхэ (үдхэхэ) үйлэдэл ({\displaystyle \div } тэмдэглэһэн)
- Хубааха үйлэдэл ({\displaystyle \times } тэмдэглэһэн)

Арифметикэнь үндэһэндээ тоосоолол хэхэд ашаглагдадаг. Арифметикын үндэһэн дүрэмүүдые объектнуудтай харисаха үдэр тутамын туршалгаһаа гарган абаһан. Тиигэхэлээр гурбан хонин дээрэ хоёрые нэмэхэ, харин дараань баһа дүрбые нэмэхэ, болбол эхилээд дүрбэн хонин дээрэ гурбые нэмэхэ, дараань баһа хоёрые нэмэхэнь шухала буса. Үндэһэндээ энэ дүрэмые холбон бодолтын хуули гэжэ нэрлэдэг: {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}. Холбон бодолтын хуулинь зүбхэн бодито тоое нэмэхэд дэлгэрэһэн түдыгүй, тооной бусад бүхыл хэлбэринүүдтэ баһа дэлгэрбэ.

## Шэнэ тоо яагаад хэрэгтэй
Хубааха болон хаһаха арифметикын үйлэдэлнүүдые зүбхэн бодито тоонууд {\displaystyle (1,2,3...)} ашаглан тэрэ бүри хэрэглэхэ боломжогүй. Физикын хубида {\displaystyle 8} зооһон мүнгые {\displaystyle 3} хүндэ тэнсүү хубаажа болодоггүйнь {\displaystyle 10} зооһон мүнгые {\displaystyle 8} хүндэ хубаажа болодоггүйтэй адли. Иимэрхүү бодолгонуудые тооной шэнэ хэлбэринүүдые оруулжа ерэһэнээр шиидэбэрилдэг. Бодито амидаралда гурбанай нэгэ доллар гэжэ байдаггүй, һүрэг хүншье гэжэ байдаггүй. Гэхэдээ бутархай юмуу, һүрэг тоо оруулһанаар ямаршье тоосоололые шиидэбэрилжэ болодог. Жэшээнь, наймые гурбада хубаахад {\displaystyle 8:3}, харин наймые хаһах арбада хубаахад {\displaystyle -2}–той тэнсүү. Иимэ хэлбэреэр эхилээд шиидэжэ боломгүй тиимэ бодолго тооной шэнэ ангиие бай болгодог.

## Тооной шар хүреэн
Нэмэхэ, үрэжүүлхэ үйлэдэлнүүд ямар нэгэ шэнэшэлэлгүй {\displaystyle \mathbb {N} } натурал тооной олонлигой хүрээндэ хэрэглэгдэдэг. Бүхэли {\displaystyle \mathbb {Z} } тоое олон болгоход {\displaystyle \mathbb {N} } тоон дээрэ һүрэг бүхэли тоонууд {\displaystyle (-1,-2,-3...)} болон {\displaystyle 0} нэмэхэ замаар гараган абадаг. Үүнэй дараа хаһаха үйлэдэлые сүлөөтэй ашаглажа болоно. Саашадаа тооной хүрээе хубааха үйлэдэл хэхэд шаардалгатай {\displaystyle \mathbb {Q} } бутархай тоое олонлигой замаар үргэдхэдэг. {\displaystyle \mathbb {N} }, {\displaystyle \mathbb {Z} }, {\displaystyle \mathbb {Q} } хамтадаа рациональ тоо {\displaystyle \mathbb {Q} }-эй олонлигые үүдхэһэнээр тэгтэ хубаахаһаа бусад математикын бүхыл үндэһэн үйлэдэлнүүдые сүлөөтэй ашаглаха бололсоое бүридүүлдэг. Рациональ тоо бүри бутархай хэлбэреэр {\displaystyle {\frac {a}{b}}} гэхэ ба эндэ {\displaystyle b}–нь бүхэли тоо байна. Рациональ тооной олонлигые иррациональ болготол үргэдхэхэд хизгааргүй, дабтагдадаггүй арбатын бутархайн бэшэглэлэй боломжые гарган абаха шаардалигтай. Тиимэ хэлбэреэр тойрогой ута болон түүнэй диаметрэй {\displaystyle (n)} харисаае бэшэдэг. Түүнһээ гадана дурын квадратай тоосоое хизгаарлалтагүйгээр хэхэ бололсоотой болодог. Рациональ болон иррациональ тоонуудой олонлигые нэгэдхэхые жэнхэни тооной олонлиг {\displaystyle \mathbb {R} } гэжэ нэрлэдэг. Юунай үмэнэ бодито аммдаралда хэрэглээгүй тоонуудай олонлигой саашадын үргэдхэлнүүдшье бололсоотой юм. Тэдэгээрэй тоондо хаһаха нэгэжэһээ квадрат изагуур гаргалтаар дамжуулан {\displaystyle i^{2}=-1} тэгшэтгэлэй шиидэлээр оруулһан хуурмаг тооной олонлигууд хамаарагдана. “Хуурмаг” гэдэг үгэнь тухайн тоонууд хэрэглээнэй тодорхой һалбарида байдаг һанаанһаа зохёомол үзэл баримталал гэдэгые заажа бай хэрэг. Инженерэй болон физикын тоосоолол жэнхэни болон хуурмаг тоое өөртөө багтааһан согсолбор тоонуудые оруулһанаар хямдааршалагдадаг.

Арифметикэ
[[Файл:Абак.jpg|thumb|200px|'''[[Сампинг]]''' (абак) ойролсоогоор {{МЭҮ}} 1100 оной үедэ зохёон бүтээһэн ба арифметикэ тоосоололдо ашаглаһаар ерэбэ]]
'''Арифметикэ''' ({{lang-el|ἀριθμητική}}, {{lang-el|ἀριθμός}} — тоон) буюу '''тооной онол''' — хатуухан хэлэхэд тоон тоосоололые һудалжа бай [[тооной ухаан]]ай хамагай эртэ һэлбэри.<ref>{{cite web |title=Mathematics |url=http://www.scienceclarified.com/Ma-Mu/Mathematics.html |publisher=Science Clarified |accessdate=23 October 2012}}</ref> Үндэһэндээ түүнэй зорилтонь тооной янза бүриин хэлбэринүүдэй шэнжэлгээ юм.

Арифметикын гурбан үйлэдэл бол:
* [[Нэмэхэ]] үйлэдэл (<math>+</math> тэмдэглэһэн)
* [[Хаһаха]] үйлэдэл (<math>-</math> тэмдэглэһэн)
* [[Үрэжүүлхэ]] (үдхэхэ) үйлэдэл (<math>\div</math> тэмдэглэһэн)
* [[Хубааха]] үйлэдэл (<math>\times</math> тэмдэглэһэн)

Арифметикэнь үндэһэндээ тоосоолол хэхэд ашаглагдадаг. Арифметикын үндэһэн дүрэмүүдые объектнуудтай харисаха үдэр тутамын туршалгаһаа гарган абаһан. Тиигэхэлээр гурбан хонин дээрэ хоёрые нэмэхэ, харин дараань баһа дүрбые нэмэхэ, болбол эхилээд дүрбэн хонин дээрэ гурбые нэмэхэ, дараань баһа хоёрые нэмэхэнь шухала буса. Үндэһэндээ энэ дүрэмые холбон бодолтын хуули гэжэ нэрлэдэг: <math>(a+b)+c =a+(b+c)</math>. Холбон бодолтын хуулинь зүбхэн бодито тоое нэмэхэд дэлгэрэһэн түдыгүй, тооной бусад бүхыл хэлбэринүүдтэ баһа дэлгэрбэ.

== Шэнэ тоо яагаад хэрэгтэй ==
Хубааха болон хаһаха арифметикын үйлэдэлнүүдые зүбхэн бодито тоонууд <math>(1,2,3...)</math> ашаглан тэрэ бүри хэрэглэхэ боломжогүй. [[Бодос зүй|Физикын]] хубида <math>8</math> зооһон мүнгые <math>3</math> хүндэ тэнсүү хубаажа болодоггүйнь <math>10</math> зооһон мүнгые <math>8</math> хүндэ хубаажа болодоггүйтэй адли. Иимэрхүү бодолгонуудые тооной шэнэ хэлбэринүүдые оруулжа ерэһэнээр шиидэбэрилдэг. Бодито амидаралда гурбанай нэгэ доллар гэжэ байдаггүй, һүрэг хүншье гэжэ байдаггүй. Гэхэдээ бутархай юмуу, һүрэг тоо оруулһанаар ямаршье тоосоололые шиидэбэрилжэ болодог. Жэшээнь, наймые гурбада хубаахад <math>8:3</math>, харин наймые хаһах арбада хубаахад <math>-2</math>–той тэнсүү. Иимэ хэлбэреэр эхилээд шиидэжэ боломгүй тиимэ бодолго тооной шэнэ ангиие бай болгодог.

== Тооной шар хүреэн ==
[[File:NCR ATM.JPG|left|thumb|Тооной онолынь банкай ажаллагаанда хэрэглэгдэдэг]]
Нэмэхэ, үрэжүүлхэ үйлэдэлнүүд ямар нэгэ шэнэшэлэлгүй <math>\mathbb N</math> натурал тооной олонлигой хүрээндэ хэрэглэгдэдэг. Бүхэли <math>\mathbb Z</math> тоое олон болгоход <math>\mathbb N</math> тоон дээрэ һүрэг бүхэли тоонууд <math>(-1,-2,-3...)</math> болон <math>0</math> нэмэхэ замаар гараган абадаг. Үүнэй дараа хаһаха үйлэдэлые сүлөөтэй ашаглажа болоно. Саашадаа тооной хүрээе хубааха үйлэдэл хэхэд шаардалгатай <math>\mathbb Q</math> бутархай тоое олонлигой замаар үргэдхэдэг. <math>\mathbb N</math>, <math>\mathbb Z</math>, <math>\mathbb Q</math> хамтадаа рациональ тоо <math>\mathbb Q</math>-эй олонлигые үүдхэһэнээр тэгтэ хубаахаһаа бусад математикын бүхыл үндэһэн үйлэдэлнүүдые сүлөөтэй ашаглаха бололсоое бүридүүлдэг. Рациональ тоо бүри бутархай хэлбэреэр <math>\frac{a}{b}</math> гэхэ ба эндэ <math>b</math>–нь бүхэли тоо байна. Рациональ тооной олонлигые иррациональ болготол үргэдхэхэд хизгааргүй, дабтагдадаггүй арбатын бутархайн бэшэглэлэй боломжые гарган абаха шаардалигтай. Тиимэ хэлбэреэр тойрогой ута болон түүнэй диаметрэй <math>(n)</math> харисаае бэшэдэг. Түүнһээ гадана дурын квадратай тоосоое хизгаарлалтагүйгээр хэхэ бололсоотой болодог. Рациональ болон иррациональ тоонуудой олонлигые нэгэдхэхые жэнхэни тооной олонлиг <math>\mathbb R</math> гэжэ нэрлэдэг. Юунай үмэнэ бодито аммдаралда хэрэглээгүй тоонуудай олонлигой саашадын үргэдхэлнүүдшье бололсоотой юм. Тэдэгээрэй тоондо хаһаха нэгэжэһээ квадрат изагуур гаргалтаар дамжуулан <math>i^{2} = -1</math> тэгшэтгэлэй шиидэлээр оруулһан хуурмаг тооной олонлигууд хамаарагдана. “Хуурмаг” гэдэг үгэнь тухайн тоонууд хэрэглээнэй тодорхой һалбарида байдаг һанаанһаа зохёомол үзэл баримталал гэдэгые заажа бай хэрэг. Инженерэй болон физикын тоосоолол жэнхэни болон хуурмаг тоое өөртөө багтааһан согсолбор тоонуудые оруулһанаар хямдааршалагдадаг.

== Мүн үзэхэ ==
* [[Тоо]]
* [[бүхэли тоо]]

== Зүүлтэ ==
{{зүүлтэ}}
<div class="references-small" style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
*Cunnington, Susan, ''The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development'', Swan Sonnenschein, London, 1904
*[[Leonard Eugene Dickson|Dickson, Leonard Eugene]], ''[[History of the Theory of Numbers]]'' (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
*[[Leonhard Euler|Euler, Leonhard]], ''[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Elements of Algebra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |date=2011-04-13 }}'', Tarquin Press, 2007
*[[Henry Burchard Fine|Fine, Henry Burchard]] (1858–1928), ''The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically'', Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
*[[Louis Charles Karpinski|Karpinski, Louis Charles]] (1878–1956), ''The History of Arithmetic'', Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
*[[Øystein Ore|Ore, Øystein]], ''Number Theory and Its History'', McGraw&ndash;Hill, New York, 1948
*[[André Weil|Weil, André]], ''Number Theory: An Approach through History'', Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: [[Mathematical Reviews]] 85c:01004
</div>

{{1000 үгүүлэл}}

[[Категори:Арифметикэ| ]]
[[Категори:Тооной ухаан]]


{{Sci-stub}}